Sempre é possível transformar uma equação diferencial de ordem n em um sistema de n equações de primeira ordem. Para a e.d.o. y^{(n)}(t)=f\left(t ; y ; y^{\prime} ; \ldots ; y^{(n-1)}\right) devem-se introduzir novas variáveis: z_{1}=y ; z_{2}=y^{\prime} ; \ldots ; z_{n}=y^{(n-1)}. Observe que neste caso o sistema resultante é,
z_{1}^{\prime}=z_{2} ; z_{2}^{\prime}=z_{3}, \ldots ; z_{n-1}^{\prime}=z_{n} ; z_{n}^{\prime}=f\left(t ; z_{1} ; z_{2} ; \ldots ; z_{n}\right) .
Transforme as e.d.o a seguir em sistemas de equações de primeira ordem:
y^{\prime \prime \prime}(t)=5\left(t^{2}+1\right) y^{\prime \prime}(t)+6 y^{\prime}(t)+\cos (3 t) y(t),

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação diferencial de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}(t)=5\bigl(t^{2}+1\bigr)\,y^{\prime\prime}(t)+6\,y^{\prime}(t)+\cos(3t)\,y(t)
num sistema equivalente de três equações de primeira ordem.

Passo 2

Introduzimos as variáveis de estado
z_{1}(t)=y(t),\quad z_{2}(t)=y^{\prime}(t),\quad z_{3}(t)=y^{\prime\prime}(t).

Passo 3

Das definições acima temos as duas primeiras equações do sistema:
z_{1}^{\prime}(t)=z_{2}(t),\quad z_{2}^{\prime}(t)=z_{3}(t).

Passo 4

A terceira equação vem da equação original, pois
z_{3}^{\prime}(t)=y^{\prime\prime\prime}(t) =5\bigl(t^{2}+1\bigr)\,z_{3}(t)+6\,z_{2}(t)+\cos(3t)\,z_{1}(t).

Resposta

\begin{cases} z_{1}^{\prime}(t)=z_{2}(t),\\\ z_{2}^{\prime}(t)=z_{3}(t),\\\ z_{3}^{\prime}(t)=5\bigl(t^{2}+1\bigr)\,z_{3}(t)+6\,z_{2}(t)+\cos(3t)\,z_{1}(t). \end{cases}

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