Sempre é possível transformar uma equação diferencial de ordem n em um sistema de n equações de primeira ordem. Para a e.d.o. y^{(n)}(t)=f\left(t ; y ; y^{\prime} ; \ldots ; y^{(n-1)}\right) devem-se introduzir novas variáveis: z_{1}=y ; z_{2}=y^{\prime} ; \ldots ; z_{n}=y^{(n-1)}. Observe que neste caso o sistema resultante é,
z_{1}^{\prime}=z_{2} ; z_{2}^{\prime}=z_{3}, \ldots ; z_{n-1}^{\prime}=z_{n} ; z_{n}^{\prime}=f\left(t ; z_{1} ; z_{2} ; \ldots ; z_{n}\right) .
Transforme as e.d.o a seguir em sistemas de equações de primeira ordem:
y^{\prime \prime}+3 e^{2 t} y(t)=t+4,

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação diferencial de segunda ordem
y'' + 3e^{2t}\,y(t) = t + 4
em um sistema de duas equações de primeira ordem. Vamos usar a técnica de redução de ordem, definindo variáveis que representem y e y'.

Passo 2

Introduzimos as novas variáveis
z_{1} = y,\quad z_{2} = y'.
Assim temos
z_{1}' = y' = z_{2},
e
z_{2}' = y''.

Passo 3

Da equação original isolamos y'':
y'' = t + 4 - 3e^{2t}\,y.
Substituindo y = z_{1} obtemos
z_{2}' = t + 4 - 3e^{2t}\,z_{1}.

Resposta

\begin{cases} z_{1}' = z_{2},\\\ z_{2}' = -3e^{2t}\,z_{1} + t + 4. \end{cases}

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