3-Considere o sistema de equações lineares (A-alpha I) X=0, sendo que alpha I é a matriz identidade multiplicada por uma constante alpha, e matriz A é dada por
A=[lll 1 & 8 & 3 0 & 2 & 0 0 & 4 & 0 ]
(a) Para qualquer valor de alpha o sistema sempre tem solução? Justifique sua resposta.
(b) Determine valores para alpha tais que o sistema tenha:
(i) Solução única.
(ii) Infinitas soluções.
Neste último caso, para cada valor de alpha encontrado, determine o conjunto solução.

Passo 1

O sistema dado é homogeneamente
(A−αI)X=0, onde
precisamos estudar a existência e a multiplicidade de soluções de um sistema linear homogêneo, usando determinante e posto da matriz.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
A−αI=1−α & 8 & 30 & 2−α & 00 & 4 & −α

Passo 3

Como todo sistema homogêneo sempre admite a solução trivial X=0, concluímos que para qualquer α o sistema
sempre tem pelo menos essa solução.

Passo 4

Para distinguir solução única de infinitas, calculamos o determinante:
det(A−αI)=(1−α)det2−α & 04 & −α = (1−α)(-(2−α)α) =-α(1−α)(2−α)
Esse determinante é zero se e somente se α∈{0,1,2}.

Passo 5

Quando det(A−αI)≠0 ⇔ α∉{0,1,2}, a matriz é invertível e o sistema homogêneo só tem a solução trivial, ou seja, solução única.

Passo 6

Para α=0,1 ou 2 a matriz é singular e teremos infinitas soluções. Resolvemos cada caso:

Passo 7

Para α=0 o sistema é A X=0, o que dá
y=0 e x+3z=0 ⇒ x=−3z. Logo
X=z(−3,0,1), z∈ℝ.

Passo 8

Para α=1 o sistema dá
y=0 e 8y+3z=0 ⇒ z=0. Logo x livre e X=x(1,0,0), x∈ℝ.

Passo 9

Para α=2 o sistema dá
4y−2z=0 ⇒ z=2y e x=8y+3z=14y. Logo
X=y(14,1,2), y∈ℝ.

Resposta

(a) Sim, todo sistema homogêneo sempre tem a solução trivial X=0.
(b)(i) Solução única se det(A−αI)≠0 ⇔ α∉{0,1,2}.
(ii) Infinitas soluções para α=0,1,2, com conjuntos:
α=0: X=t(−3,0,1), t∈ℝ;
α=1: X=s(1,0,0), s∈ℝ;
α=2: X=t(14,1,2), t∈ℝ.

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