Determine se o sistema abaixo tem ou não solução e se a solução é única (justifique sua resposta). Caso tenha solução(ões) encontre-a(s).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o sistema
2x–y+3z=11,
4x–3y+2z=0,
x+y+z=6
3x+y+z=4
tem alguma solução e se ela é única, e em caso afirmativo encontrá-la. O assunto é Sistemas Lineares e vamos usar eliminação de Gauss e conceito de posto para justificar existência e unicidade.
Passo 2
Começo eliminando entre a 3.ª e a 4.ª equação para achar x rapidamente. Da 3.ª temos
x+y+z=6
e da 4.ª 3x+y+z=4 Subtraindo a 3.ª da 4.ª:
(3x+y+z)-(x+y+z)=4-6
2x=-2
Logo x=-1
Passo 3
Com x=-1, volto à 3.ª equação para relacionar y e z:
-1 + y + z =6
y+z=7
Passo 4
Agora uso a 1.ª equação
2x - y + 3z =11 Substituindo x=-1 e z=7-y:
2(-1)-y+3(7-y)=11
-2 -y +21 -3y=11
-4y +19=11
-4y=-8
y=2,
e então z=7-y=5
Passo 5
Para garantir consistência, checo a 2.ª equação com x=-1,y=2,z=5:
4(-1)-3(2)+2(5)=-4-6+10=0, bate certinho. Assim o sistema é consistente e gerou três pivôs (um em cada variável), então o posto da matriz de coeficientes é 3, igual ao posto da ampliada, e igual ao número de incógnitas.
Portanto há solução e ela é única.