Decida se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
Se
e
são matrizes de mesmo tamanho tais que os sistemas
e
têm as mesmas soluções então
.
Se
Passo 1
Resumo: Temos as matrizes A e B de mesmo tamanho e a informação de que os sistemas homogêneos A X=0 e B X=0 têm exatamente as mesmas soluções. A pergunta é se isso obriga A=B. O conteúdo principal aqui é espaço-nulo (ou núcleo) de uma matriz e sua relação com a matriz original.
Passo 2
O espaço-nulo (nullspace) de uma matriz M é o conjunto de vetores X tais que M X=0. Só essa informação não determina univocamente todos os elementos de M, pois diferentes matrizes podem ter o mesmo espaço-nulo.
Para ver isso, basta notar que, se uma matriz M tem núcleo N, então qualquer múltiplo escalar c M (com c≠0) também tem exatamente o mesmo núcleo N. Ou seja,
Para ver isso, basta notar que, se uma matriz M tem núcleo N, então qualquer múltiplo escalar c M (com c≠0) também tem exatamente o mesmo núcleo N. Ou seja,
pois c é invertível. Logo os sistemas M X=0 e (cM) X=0 têm as mesmas soluções.
Passo 3
Contraexemplo explícito: Tome A=I (matriz identidade) e B=2I. Ambos têm apenas a solução X=0 em seus sistemas homogêneos, logo têm o mesmo espaço-nulo. Mas claramente A≠B.
Conclusão: A igualdade dos espaços-nulo não implica igualdade das matrizes. Portanto, a afirmativa é falsa.
Conclusão: A igualdade dos espaços-nulo não implica igualdade das matrizes. Portanto, a afirmativa é falsa.
Resposta
Falsa. Um contraexemplo simples é A=I e B=2I: ambos sistemas têm o mesmo núcleo (só X=0), mas A≠B.