Sejam A, B, C pontos quaisquer de E^3, com A neq B.
(a) Mostre que P pertence à reta determinada por A e B se e só se existem números alpha, beta tais que alpha+beta=1 e v C P=alpha v C A+beta v C B.
(b) Mostre que P pertence ao segmento A B se e só se os números alpha, beta do ítem anterior pertencem a [0,1].
© Verifique que P é interior ao segmento A B se e só se v P A e v P B têm sentido contrário.

Passo 1

Vamos recapitular o que o exercício pede e quais ferramentas vamos usar: temos pontos A, B, C em E^3 com Aneq B, e queremos caracterizar, via combinação afim (coordenadas baricêntricas), quando um ponto P está na reta AB, no segmento AB e interior a esse segmento. Para isso vamos usar a representação P=A+t(B-A) e decompor vetores em combinações lineares.

Passo 2

Prova do item (a): “ P está na reta determinada por A e B se e só se existem alpha,beta com alpha+beta=1 e CP=alpha,CA+beta,CB".
Suponha primeiro que P pertença à reta AB. Então existe tin R tal que
P ,=,A+t(B-A)
Aplicando o operador Ccdot (isto é, colando C como origem), obtemos
CP ,=,CA+t,(B-A) ,=,CA+t,(CB-CA)
Logo
CP ,=,(1-t),CA+t,CB
Basta então definir
alpha=1-t, beta=t,
que satisfaz alpha+beta=1 e dá exatamente CP=alpha,CA+beta,CB.
Para a recíproca, suponha que existam alpha,beta com alpha+beta=1 e
CP=alpha,CA+beta,CB
Então
P = C+CP=C+alpha,(A-C)+beta,(B-C)=alpha A+beta B+(1-alpha-beta)C=alpha A+beta B
Como alpha+beta=1, isso mostra que P é combinação afim de A e B, ou seja, pertence à reta AB.

Passo 3

Prova do item (b): “ P pertence ao segmento AB se e só se os alpha,beta do item (a) estão em [0,1].”
Na parte (a) vimos que P=alpha A+beta B com alpha+beta=1. Se exigirmos que além de alpha+beta=1 também se tenha
alpha>=0, beta>=0,
então P fica exatamente entre A e B, correspondendo ao parâmetro t=beta variando em [0,1]. Reciprocamente, se P fica no segmento, o parâmetro t de P=A+t(B-A) está em [0,1], e definindo alpha=1-t,beta=t obtemos alpha,betain[0,1].

Passo 4

Prova do item ©: “ P é interior ao segmento AB se e só se PA e PB têm sentido contrário.”
Quando P é interior ao segmento, no item (b) temos alpha,betain(0,1). Podemos escrever
P=A+beta(B-A),
de modo que
PA=A-P=-beta,l(B-Ar), PB=B-P=(1-beta),(B-A)
Ambos são múltiplos do mesmo vetor (B-A), mas com coeficientes de sinais opostos ( -beta<0 e 1-beta>0). Logo PA e PB têm sentidos contrários.
Para a recíproca, se PA e PB são colineares com sentidos opostos, o ponto P deve ficar entre A e B, isto é, interior ao segmento.

Passo 5

Resposta

(a) P está na reta AB sse existem alpha,betain R com alpha+beta=1 tais que CP=alpha,CA+beta,CB. (b) P está no segmento AB sse, além de alpha+beta=1, vale alpha,betain[0,1]. © P é interior a AB sse PA e PB são colineares com sentidos opostos.

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