Decida se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
Se uma matriz quadrada A é tal que A=A^3 então det(A)= pm 1.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, dada uma matriz quadrada A satisfazendo A = A^3, sempre vale det(A)=pm1. O conteúdo envolve determinante de potências de matriz e resolução de equações algébricas para o determinante.

Passo 2

Aplicamos determinante em ambos os lados de A = A^3. Usando a propriedade det(A^n)=l(det(A)r)^n, seja d=det(A). Então temos
d = d^3
Isso implica
d(d^2-1)=0Longrightarrow din0,1,-1

Passo 3

Concluímos que det(A) pode ser 0 ou pm1. Como contraexemplo, a matriz zero A=0 satisfaz 0=0^3 mas tem det(A)=0, não sendo pm1. Portanto a afirmação não vale em geral.

Resposta

Falsa.

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