Considere o sistema de equações lineares:
2 x+3 y-2 z & =k x-2 y+k z & =2 4 x-y+4 z & =1
(b) Encontre a solução do sistema para k=1, utilizando operações elementares.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro
Na parte (b) devemos achar a solução quando (k=1] usando operações elementares.

Passo 2

Substituindo k=1 obtemos o sistema
2x + 3y -2z = 1, x -2y + 1cdot z = 2, 4x -y +4z = 1
Escrevemos a matriz aumentada correspondente:
[ccc|c 2 & 3 & -2 & 1 1 & -2 & 1 & 2 4 & -1 & 4 & 1 ]

Passo 3

Trocamos a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1 na primeira linha:
R1rightarrow R2longrightarrow [ccc|c 1 & -2 & 1 & 2 2 & 3 & -2 & 1 4 & -1 & 4 & 1 ]
Em seguida, eliminamos os elementos abaixo do pivô da coluna 1:
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 4R1
resultando em
[ccc|c 1 & -2 & 1 & 2 0 & 7 & -4 & -3 0 & 7 & 0 & -7 ]

Passo 4

Eliminamos agora o elemento da linha 3, coluna 2, subtraindo a linha 2 de R3:
R3 R3 - R2 longrightarrow [ccc|c 1 & -2 & 1 & 2 0 & 7 & -4 & -3 0 & 0 & 4 & -4 ]
Da última linha temos
4z = -4 Longrightarrow z = -1

Passo 5

Usamos z=-1 na segunda linha para encontrar y:
7y -4z = -3 Longrightarrow 7y -4(-1) = -3 Longrightarrow 7y +4 = -3 Longrightarrow 7y = -7 Longrightarrow y = -1
Por fim, substituímos y=-1, z=-1 na primeira linha para x:
x -2y + z = 2 Longrightarrow x -2(-1) +(-1) = 2 Longrightarrow x +2 -1 = 2 Longrightarrow x = 1

Resposta

(x,y,z) = (1,,-1,,-1)

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