Considere o sistema de equações lineares:
2 x+3 y-2 z & =k x-2 y+k z & =2 4 x-y+4 z & =1
(a) Determine o valor de k in R para o qual(ais) o sistema:
(ii) não admita solução. Explique/justifique

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear dependente do parâmetro
Queremos determinar para quais valores de (k] o sistema não admite solução. Vamos usar o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e depois o critério de Rouché-Frobenius (posto da matriz dos coeficientes versus posto da matriz aumentada).

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & 3 & -2 1 & -2 & k 4 & -1 & 4
e calculamos
det(A) =2det-2 & k -1 & 4 -3det1 & k 4 & 4 -2det1 & -2 4 & -1
Cada menor vale
det-2 & k -1 & 4=(-2)cdot4 - kcdot(-1)=k-8,
det1 & k 4 & 4=1cdot4 - kcdot4=4-4k,
det1 & -2 4 & -1 =1cdot(-1)-(-2)cdot4=7
Logo
det(A)=2(k-8)-3(4-4k)-2cdot7 =2k-16-12+12k-14 =14k-42 =14(k-3)
Portanto det(A)=0 sse k=3.

Passo 3

Para
Das duas primeiras equações expressamos (x=2+2y-3z] e substituímos em cada uma:
– Na ª:
– Na ª:
Obtemos os dois resultados contraditórios
logo não há solução para .

Resposta

O sistema não admite solução quando k=3.

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