(a) Determine o valor de k in R para o qual(ais) o sistema:
(i) admita solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro k:
2x+3y-2z = k, x-2y+kz = 2, 4x - y +4z = 1
O conteúdo é de teoria de sistemas lineares: vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para identificar quando há solução única e, em seguida, checar o caso em que esse determinante é zero para ver se há ou não solução.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes
A= 2 & 3 & -2 1 & -2 & k 4 & -1 & 4
e calculamos seu determinante por expansão de Laplace na primeira linha:
Se det(A)neq0, o sistema tem solução única. Logo, para
14(k-3)neq0 Long<=ftrightarrow kneq3,
existe exatamente uma solução.
Passo 4
Quando k=3, temos det(A)=0 e o sistema pode ser ou indeterminado ou impossível. Substituindo k=3 nas equações e eliminando x via x=2+2y-3z (da segunda equação), obtemos de
2x+3y-2z=3 e 4x-y+4z=1
as duas equações equivalentes a
7y-8z=-1 e 7y-8z=-7,
o que é contraditório. Logo, para k=3 não há solução.