Considere o sistema de equações lineares:
2 x+3 y-2 z & =k x-2 y+k z & =2 4 x-y+4 z & =1
(a) Determine o valor de k in R para o qual(ais) o sistema:
(i) admita solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro k:
2x+3y-2z = k, x-2y+kz = 2, 4x - y +4z = 1
O conteúdo é de teoria de sistemas lineares: vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para identificar quando há solução única e, em seguida, checar o caso em que esse determinante é zero para ver se há ou não solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A= 2 & 3 & -2 1 & -2 & k 4 & -1 & 4
e calculamos seu determinante por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A) =2det-2 & k -1 & 4 -3det1 & k4 & 4 -2det1 & -24 & -1
Os menores são
det-2 & k -1 & 4 =(-2)cdot4 - kcdot(-1)=k-8,
det1 & k4 & 4 =1cdot4 - kcdot4=4-4k,
det1 & -24 & -1 =1cdot(-1) -(-2)cdot4=7
Substituindo:
det(A)=2(k-8)-3(4-4k)-2cdot7 =2k-16-12+12k-14 =14k-42 =14(k-3)

Passo 3

Se det(A)neq0, o sistema tem solução única. Logo, para
14(k-3)neq0 Long<=ftrightarrow kneq3,
existe exatamente uma solução.

Passo 4

Quando k=3, temos det(A)=0 e o sistema pode ser ou indeterminado ou impossível. Substituindo k=3 nas equações e eliminando x via x=2+2y-3z (da segunda equação), obtemos de
2x+3y-2z=3 e 4x-y+4z=1
as duas equações equivalentes a
7y-8z=-1 e 7y-8z=-7,
o que é contraditório. Logo, para k=3 não há solução.

Resposta

O sistema admite solução se, e somente se,
kneq3

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