Determine os valores de a e b para que o sistema tenha uma única solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z). O nosso desafio é encontrar os valores de a e b que fazem esse sistema ter uma única solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o determinante de matrizes, que nos ajuda a entender se o sistema é independente e tem apenas uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que multiplicam as incógnitas em cada equação e organizar em uma matriz:
A = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 5 4 & 5 & a
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.
Passo 3
Para que o sistema tenha uma única solução, a matriz dos coeficientes A precisa ter um determinante diferente de zero. Vamos calcular esse determinante.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir uma única solução:
-a + 9 neq 0
Resolvendo para a :
-a + 9 neq 0 implies -a neq -9 implies a neq 9
Passo 5
Então, descobrimos que a não pode ser igual a 9. Mas e o b ? Como o sistema tem três equações e queremos uma única solução, enquanto garantimos que o determinante não é zero (com a neq 9 ), o valor de b pode ser qualquer número real. Isso porque, com a neq 9 , as equações serão independentes e sempre haverá uma única solução independente de b .
Resposta
Para que o sistema tenha uma única solução, o valor de a não pode ser igual a 9 ( a neq 9 ) e b pode ser qualquer número real. Ou seja, a neq 9 e b é qualquer valor.