Considere o sistema de equações lineares:
l x+2 y+3 z=5 2 x+3 y+5 z=8 4 x+5 y+a z=b
Determine os valores de a e b para que o sistema tenha uma única solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z). O nosso desafio é encontrar os valores de a e b que fazem esse sistema ter uma única solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o determinante de matrizes, que nos ajuda a entender se o sistema é independente e tem apenas uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que multiplicam as incógnitas em cada equação e organizar em uma matriz:
A = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 5 4 & 5 & a
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.

Passo 3

Para que o sistema tenha uma única solução, a matriz dos coeficientes A precisa ter um determinante diferente de zero. Vamos calcular esse determinante.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando os valores da nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (3 cdot a - 5 cdot 5) - 2 cdot (2 cdot a - 5 cdot 4) + 3 cdot (2 cdot 5 - 3 cdot 4)
Vamos resolver passo a passo:
  1. Primeiro termo:
1 cdot (3a - 25) = 3a - 25
  1. Segundo termo:
-2 cdot (2a - 20) = -4a + 40
  1. Terceiro termo:
3 cdot (10 - 12) = 3 cdot (-2) = -6
Agora, somando tudo:
det(A) = (3a - 25) + (-4a + 40) + (-6) = -a + 9

Passo 4

Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir uma única solução:
-a + 9 neq 0
Resolvendo para a :
-a + 9 neq 0 implies -a neq -9 implies a neq 9

Passo 5

Então, descobrimos que a não pode ser igual a 9. Mas e o b ? Como o sistema tem três equações e queremos uma única solução, enquanto garantimos que o determinante não é zero (com a neq 9 ), o valor de b pode ser qualquer número real. Isso porque, com a neq 9 , as equações serão independentes e sempre haverá uma única solução independente de b .

Resposta

Para que o sistema tenha uma única solução, o valor de a não pode ser igual a 9 ( a neq 9 ) e b pode ser qualquer número real. Ou seja, a neq 9 e b é qualquer valor.

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