Seja a matriz B dada por:
B=[lll a & b & c d & e & f g & h & i ]
Sabemos que det(B)=7. Considere agora a matriz C obtida ao multiplicar a segunda linha de B por k=3 e trocar a primeira e terceira linhas.
Determine det(C).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz B de ordem 3, e sabemos que o determinante dessa matriz, det(B) , é igual a 7. A matriz C é obtida a partir de B fazendo duas operações: multiplicar a segunda linha de B por 3 e trocar a primeira e terceira linhas. Nosso objetivo é descobrir qual é o determinante de C , ou seja, det(C) .

Passo 2

Vamos pensar sobre como as operações que fazem parte da construção da matriz C afetam o determinante. Existem algumas regras importantes sobre determinantes que vamos usar:
  1. Multiplicar uma linha por um escalar: Se você multiplicar uma linha de uma matriz por um número k , o determinante da matriz resultante será k vezes o determinante da matriz original.
  2. Trocar duas linhas: Se você trocar duas linhas de uma matriz, o determinante da matriz resultante será o negativo do determinante da matriz original.

Passo 3

Primeiro, aplicamos a operação de multiplicar a segunda linha de B por 3. De acordo com a regra que mencionamos, isso significa que o determinante da nova matriz será 3 vezes o determinante original de B :
det(B') = 3 times det(B) = 3 times 7 = 21

Passo 4

Em seguida, trocamos a primeira e a terceira linhas dessa nova matriz B' . Segundo a segunda regra, trocar duas linhas inverte o sinal do determinante:
det(C) = -det(B') = -21

Resposta

O determinante da matriz C é -21.

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