| q2 | Considere o sistema de equações lineares da forma A x=b, onde a matriz A, uma matriz 40 times 40 com componentes nulas a menos das seguintes A(1,1)=-4, A(1,2)=3, A(i, i-1)=1, A(i, i)=-2, A(i, i+1)=1, para i=2,3, ldots, 39, A(40,39)=3 e A(40,40)=-4; e b=12000[1 ; 1 ; ldots ; 1]. Determine o valor aproximado da norma 2 de x. |

Passo 1

Beleza, aqui tá o resumo: a gente tem um sistema Ax=b, com A de tamanho 40×40 tridiagonal “quase Toeplitz” (−4/3 nas duas pontas e 1,−2,1 no meio) e b é o vetor cujas 40 entradas valem 1/2000. O que pedem é a norma-2 de x (ou seja, ‖x‖₂), onde x = A⁻¹ b. Matéria: Álgebra Linear, norma de vetores, norma-2 de matrizes (condicionamento) e relação
  ‖x‖₂ ≤ ‖A⁻¹‖₂·‖b‖₂.
Vamos precisar:
  1. calcular ‖b‖₂,
  2. estimar ‖A⁻¹‖₂ a partir do menor valor singular de A,
  3. juntar tudo pra achar ‖x‖₂.

Passo 2

Primeiro, ‖b‖₂.
b = (1/2000)[1,1,…,1]ᵀ tem 40 componentes iguais a 1/2000, então
b₂ = raizsumi=1^40l(12000r)^2 = 12000raiz40 = raiz402000 approx 6,32492000 = 0,003162

Passo 3

Agora, a norma-2 de x satisfaz
x₂ = A^-1b₂ <= A^-1₂,b₂,
e na verdade, como b não é vetor “péssimo”, a gente assume quase igualdade e usa
x₂ approx A^-1₂,b₂
Então o lance é achar ‖A⁻¹‖₂, que é 1 sobre o menor valor singular de A, σ_min(A).

Passo 4

A matriz A é “quase” o operador de segunda diferença (diagonais −2 e ±1), só que com −4/3 nas bordas. Se a gente ignorar as bordas, o operador padrão T n×n tem autovalores
lambdak(T) = 2 - 2coskpin+1, k=1,2,dots,n,
e seu inverso tem norma 1/λ_min. No nosso caso A = −T (mais ajuste de borda), então os autovalores de A são −λ_k(T), logo os valores singulares são |λ_k(T)|.
O mínimo λ_k(T) ocorre para k=1:
lambdaminapprox 2 - 2cospi41 approx 2 - 2l(1 - pi^22cdot41^2r) = pi^241^2 approx 9,86961681 approx 0,005876
Logo
σmin(A)approx 0,005876, A^-1₂ = 1σmin(A) approx 10,005876 approx 170,3

Passo 5

Juntando tudo:
x₂ approx A^-1₂,b₂ approx 170,3 times 0,003162 approx 0,5387

Resposta

A norma-2 de x é aproximadamente
boxedx2approx 0,54

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