| q2 | Considere o sistema de equações lineares da forma
, onde a matriz
, uma matriz
com componentes nulas a menos das seguintes
, para
e
; e
. Determine o valor aproximado da norma 2 de
. |
Passo 1
Beleza, aqui tá o resumo: a gente tem um sistema Ax=b, com A de tamanho 40×40 tridiagonal “quase Toeplitz” (−4/3 nas duas pontas e 1,−2,1 no meio) e b é o vetor cujas 40 entradas valem 1/2000. O que pedem é a norma-2 de x (ou seja, ‖x‖₂), onde x = A⁻¹ b. Matéria: Álgebra Linear, norma de vetores, norma-2 de matrizes (condicionamento) e relação
‖x‖₂ ≤ ‖A⁻¹‖₂·‖b‖₂.
Vamos precisar:
‖x‖₂ ≤ ‖A⁻¹‖₂·‖b‖₂.
Vamos precisar:
- calcular ‖b‖₂,
- estimar ‖A⁻¹‖₂ a partir do menor valor singular de A,
- juntar tudo pra achar ‖x‖₂.
Passo 2
Primeiro, ‖b‖₂.
b = (1/2000)[1,1,…,1]ᵀ tem 40 componentes iguais a 1/2000, então
b = (1/2000)[1,1,…,1]ᵀ tem 40 componentes iguais a 1/2000, então
Passo 3
Agora, a norma-2 de x satisfaz
e na verdade, como b não é vetor “péssimo”, a gente assume quase igualdade e usa
Então o lance é achar ‖A⁻¹‖₂, que é 1 sobre o menor valor singular de A, σ_min(A).
Passo 4
A matriz A é “quase” o operador de segunda diferença (diagonais −2 e ±1), só que com −4/3 nas bordas. Se a gente ignorar as bordas, o operador padrão T n×n tem autovalores
e seu inverso tem norma 1/λ_min. No nosso caso A = −T (mais ajuste de borda), então os autovalores de A são −λ_k(T), logo os valores singulares são |λ_k(T)|.
O mínimo λ_k(T) ocorre para k=1:
O mínimo λ_k(T) ocorre para k=1:
Logo
Passo 5
Juntando tudo:
Resposta
A norma-2 de x é aproximadamente