| q1 | A função f(x)=x^2 log (5+x)-7 possui uma raiz no intervalo [1, 4]. Utilizando o método Newton-Raphson e a aproximação inicial x^(0)=4 determine a aproximação desse zero obtida após 3 iterações do método. |

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente achar uma aproximação de uma raiz da função
f(x)=x^2ln(5+x)-7
no intervalo [1,4], usando o método de Newton–Raphson com chute inicial x^(k+1) ;=; x^(k) ;-;fl(x^(k)r)f'l(x^(k)r) .
Conteúdo: Newton–Raphson (iterações), derivada de .
O que vamos precisar:
1. Calcular .
2. Aplicar a fórmula de Newton

Passo 2

Primeiro achamos a derivada de f'(x) = ddxl(x^2r),ln(5+x) + x^2,ddxl(ln(5+x)r) = 2x,ln(5+x) + x^2cdot15+x .
  • x^(1) = 4 - 28.155619.3556 approx 4 - 1.4547 = 2.5453 .
  • Usando a regra do produto e a cadeia,
Agora, com :
  1. .
  2. .
  3. Iteração:

Passo 3

Agora x^(2) = 2.5453 - 6.101411.1517 approx 2.5453 - 0.5472 =1.9981 . Repetimos:

Passo 4

Com x^(3) = 1.9981 - 0.76708.3412 approx 1.9981 - 0.0920 =1.9061 :

Resposta

A aproximação do zero após 3 iterações é
boxedx^(3)approx1.9061

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