| q3 | A expressão 2 x(raiz1-x^2-1)+log (1+x^3) está sujeita ao fenômeno de cancelamento catastrófico quando calculada através da aritmética de ponto flutuante. Assinale a alternativa que corresponde ao valor dessa expressão quando x=3.153 times 10^-10. <br> Sugestão: utilize as representações em série log (1+x)=x-x^22+x^33-x^44+ldots e raiz1-x^2=1-x^22-x^48-x^616-ldots |

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular
2xl(raiz1 - x^2 - 1r) ;+; logl(1 + x^3r)
quando .
O conteúdo aqui é séries de Taylor/Maclaurin pra raiz quadrada e pro log, pra evitar aquele cancelamento catastrófico que rola se você fizer na “cara” com ponto flutuante. Vamos precisar das fórmulas em série de
e de e depois juntar tudo.

Passo 2

Primeiro, a teoria da raiz: para raiz1 - u = 1 ;-;u2;-;u^28;-;u^316;-;cdots
raiz1 - x^2 approx 1 ;-;x^22;-;x^48
Aqui usamos . Como é super pequeno ( ), dá pra ficar só nos dois primeiros termos:

Passo 3

Agora o log: para log(1 + z) = z ;-;z^22;+;z^33;-;cdots
log(1 + x^3) approx x^3 ;-;x^62
Aqui . Como , dá pra cortar rápido:

Passo 4

Vamos montar as duas partes:

  1. =
    =
    =

Passo 5

Somando as duas:
-,x^3 - x^54 ;+;l(x^3 - tfracx^62r) = l(-x^3 + x^3r) ;-;x^54 ;-;x^62
Repare que os -x^54, se anulam (é daí o cancelamento). O termo principal que sobra é
pois é ainda menor ( ) e não faz diferença.

Passo 6

Só falta avaliar numericamente
-x^54 = -(3.153times10^-10)^54
Vamos ver rapidinho:
-x^54approx -0.7794times10^-48 = -7.794times10^-49 e ,
então .
Dividindo por 4 dá

Resposta

boxed-7.8times10^-49

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