Considere o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{aligned} x-y & =1 \\\\ 2 x-k y & =2 k \end{aligned}\right.
Determine todos os valores reais de k de modo que o sistema tenha uma única solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x - y = 1,\\\\ 2x - k\,y = 2k, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k ele tem solução única. Vamos usar a propriedade de sistemas 2\times 2: há solução única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & -k \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) = 1\cdot(-k) - (-1)\cdot2 = -k + 2 = 2 - k.

Passo 3

Para existir solução única, precisamos de
\det(A)\neq0
isto é,
2 - k \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad k \neq 2.

Resposta

Todos os valores reais de k, exceto k=2.

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