Encontre a matriz inversa da matriz A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & 2 & -2\end{array}\right], se possível. Passo 1O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}, usando o método de eliminação de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada (A\mid I) e aplicar operações elementares de linha até chegar em (I\mid A^{-1}). Passo 2Montamos a matriz aumentada iniciando com I_3 à direita de A: \bigl(A\mid I\bigr)= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & -2 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Passo 3Queremos pivô 1 em (1,1). Como a_{11}=-1, multiplicamos a linha 1 por -1: R_{1}\leftarrow -1\cdot R_{1} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 &\mid& -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & -2 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Passo 4O pivô em (2,2) já é 1. Usamos essa linha para zerar o elemento abaixo, em (3,2): R_{3}\leftarrow R_{3} - 2\,R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 &\mid& -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -12&\mid& 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}. Passo 5Agora o pivô em (3,3) é -12. Primeiro, normalizamos para obter 1: R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{12}\,R_{3} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 &\mid& -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& 0 & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}. Em seguida, zeramos os elementos acima na coluna 3: R_{1}\leftarrow R_{1} +3\,R_{3}, \quad R_{2}\leftarrow R_{2} -5\,R_{3}. Fazendo as contas, fica \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& -1 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ 0 & 1 & 0 &\mid& 0 & \tfrac16 & \tfrac{5}{12}\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& 0 & \tfrac16 & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}. Passo 6Já temos a forma (I\mid B), portanto A^{-1} = B = \begin{pmatrix} -1 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ 0 & \tfrac16 & \tfrac{5}{12}\\\\ 0 & \tfrac16 & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}. Resposta A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ 0 & \tfrac16 & \tfrac{5}{12}\\\\ 0 & \tfrac16 & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUtilize o método de eliminação de Gauss para determinar a solução do seguinte sistema: \left\{\begin{array}{r} x-2 y+z-w=0 \\\\ 2 x+y-2 z+w=1 \\\\ 3 x-3 y+z-w=2 \end{array}\right. Se B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -a & -1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]. Calcule o valor de a para que \operatorname{det}\left(B . C^{T}\right)=0. Considere o sistema de equações lineares: \left\{\begin{aligned} x-y & =1 \\\\ 2 x-k y & =2 k \end{aligned}\right. Determine todos os valores reais de k de modo que o sistema tenha uma única solução. Use a definição de limite de uma sequência para estabelecer o seguinte limites: \lim \left(\frac{2 n-1}{n+4}\right)=2.