Encontre a matriz inversa da matriz A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & 2 & -2\end{array}\right], se possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix},
usando o método de eliminação de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada (A\mid I) e aplicar operações elementares de linha até chegar em (I\mid A^{-1}).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada iniciando com I_3 à direita de A:
\bigl(A\mid I\bigr)= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & -2 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Queremos pivô 1 em (1,1). Como a_{11}=-1, multiplicamos a linha 1 por -1:
R_{1}\leftarrow -1\cdot R_{1} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 &\mid& -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & -2 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

O pivô em (2,2) já é 1. Usamos essa linha para zerar o elemento abaixo, em (3,2):
R_{3}\leftarrow R_{3} - 2\,R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 &\mid& -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -12&\mid& 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora o pivô em (3,3) é -12. Primeiro, normalizamos para obter 1:
R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{12}\,R_{3} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 &\mid& -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& 0 & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.
Em seguida, zeramos os elementos acima na coluna 3:
R_{1}\leftarrow R_{1} +3\,R_{3}, \quad R_{2}\leftarrow R_{2} -5\,R_{3}.
Fazendo as contas, fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& -1 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ 0 & 1 & 0 &\mid& 0 & \tfrac16 & \tfrac{5}{12}\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& 0 & \tfrac16 & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.

Passo 6

Já temos a forma (I\mid B), portanto
A^{-1} = B = \begin{pmatrix} -1 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ 0 & \tfrac16 & \tfrac{5}{12}\\\\ 0 & \tfrac16 & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & \tfrac12 & -\tfrac14\\\\ 0 & \tfrac16 & \tfrac{5}{12}\\\\ 0 & \tfrac16 & -\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.

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