Use a definição de limite de uma sequência para estabelecer o seguinte limites: \lim \left(\frac{2 n-1}{n+4}\right)=2.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que a sequência
\;a_{n}=\frac{2n-1}{n+4}
converge para 2 quando n\to\infty. Vamos usar o conteúdo de definição de limite: “para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, \lvert a_{n}-L\rvert<\varepsilon”.

Passo 2

Segundo a definição, precisamos mostrar que, dado qualquer \varepsilon>0, podemos encontrar um N tal que, sempre que n\ge N, valha
\lvert a_{n}-2\rvert<\varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença
\lvert a_{n}-2\rvert =\biggl\lvert\frac{2n-1}{n+4}-2\biggr\rvert =\biggl\lvert\frac{2n-1-2(n+4)}{n+4}\biggr\rvert =\biggl\lvert\frac{2n-1-2n-8}{n+4}\biggr\rvert =\frac{9}{n+4}.

Passo 4

Queremos
\frac{9}{n+4}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n+4>\frac{9}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{9}{\varepsilon}-4.
Logo, basta escolher
N = \left\lceil \frac{9}{\varepsilon}-4\right\rceil,
pois então, sempre que n\ge N, teremos \frac{9}{n+4}\le\frac{9}{N+4}<\varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, para todo \varepsilon>0, existe N (como acima) tal que, sempre que n\ge N, vale \lvert a_{n}-2\rvert<\varepsilon. Isso demonstra, pela definição, que
\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n+4}=2.

Resposta

2

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