Use a definição de limite de uma sequência para estabelecer o seguinte limites: \lim \left(\frac{2 n-1}{n+4}\right)=2.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de sequência, que a sequência
\;a_{n}=\frac{2n-1}{n+4}
converge para 2 quando n\to\infty. Vamos usar o conteúdo de definição de limite: “para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, \lvert a_{n}-L\rvert<\varepsilon”.
Passo 2
Segundo a definição, precisamos mostrar que, dado qualquer \varepsilon>0, podemos encontrar um N tal que, sempre que n\ge N, valha
N = \left\lceil \frac{9}{\varepsilon}-4\right\rceil,
pois então, sempre que n\ge N, teremos \frac{9}{n+4}\le\frac{9}{N+4}<\varepsilon.
Passo 5
Concluímos que, para todo \varepsilon>0, existe N (como acima) tal que, sempre que n\ge N, vale \lvert a_{n}-2\rvert<\varepsilon. Isso demonstra, pela definição, que