(a) Indique, através do uso dos critérios de convergência, para quais métodos iterativos o sistema acima converge.
(b) Partindo do vetor nulo, realize duas iterações do método iterativo de sua preferência. Calcule o erro relativo a cada iteração.
indicar, usando critérios de convergência, para quais métodos iterativos o sistema converge;
a partir do vetor nulo realizar duas iterações do método iterativo de minha preferência e calcular o erro relativo a cada iteração.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes da matriz do sistema e o vetor do lado direito \,[18,\;3,\;7]^{T}. A escolha do método para as iterações fica a meu critério (seguirei a justificativa nos passos seguintes).]
Passo 2
Conceitos/critério que vamos usar (explicação didática e simples):
Para um método iterativo linear (Jacobi, Gauss–Seidel, SOR) a convergência é equivalente a ter raio espectral da matriz de iteração menor que 1. O raio espectral de uma matriz B é \rho(B)=\max\{|\lambda|:\lambda\text{ é autovalor de }B\}é. Se \rho(B)<1, x^{(k+1)}=B x^{(k)}+c converge para a solução, qualquer que seja x^{(0)}.
Existem condições suficientes fáceis de verificar: se a matriz dos coeficientes é estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, para cada linha i, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), então Jacobi e Gauss–Seidel convergem. Porém esta condição é só suficiente, não necessária.
Vamos primeiro ver se a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas. A matriz dos coeficientes é
linha 1: |a_{11}|=2 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=0{,}5+0{,}5=1, então 2>1 (estritamente dominante nessa linha);
linha 2: |a_{22}|=6 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=1+0{,}5=1{,}5, então 6>1{,}5 (estritamente dominante);
linha 3: |a_{33}|=15 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=10+6=16, então 15<16 (não é dominante nesta linha).
Portanto a condição de dominância estrita por linhas falha na linha 3, então não podemos concluir a convergência apenas por esse critério. Logo precisamos verificar o raio espectral das matrizes de iteração (critério necessário e suficiente). Vou calcular explicitamente as matrizes de iteração de Jacobi e de Gauss–Seidel e seus raios espectrais.]
Passo 3
Matriz de iteração de Jacobi (aula curta sobre procedimento): escrevemos A=D+R, onde D é a diagonal de A e R=A-D contém os elementos fora da diagonal. A iteração de Jacobi é
Para verificar a convergência precisamos do raio espectral \rho(B_{J}). O polinômio característico desse B_{J} (cálculo com frações para manter exatidão) é
Resolvendo numericamente esse polinômio (procedimento explicado: testar sinais e refinar intervalos por bisseção/iteração) obtém-se três autovalores reais aproximados
o que garante convergência do método de Jacobi para este sistema.]
Passo 4
Matriz de iteração de Gauss–Seidel (explicação prática): decompomos A=D+L+U com L a parte estritamente triangular inferior e U a estritamente superior. A iteração de Gauss–Seidel pode ser escrita
x^{(k+1)}=-(D+L)^{-1} U\, x^{(k)} + (D+L)^{-1} b,
logo a matriz de iteração é B_{GS}=-(D+L)^{-1}U. Para calcular B_{GS} é conveniente obter suas colunas resolvendo sistemas triangulares (cada coluna é -(D+L)^{-1} vezes a coluna correspondente de U).
Note que a primeira coluna é nula porque a primeira coluna de U é nula. Por causa dessa estrutura, o cálculo do polinômio característico reduz-se ao cálculo dos autovalores do bloco 2\times2 inferior-direito:
O determinante de C é \det\text{(C)}=\tfrac{1}{72} e a soma dos autovalores é \operatorname{tr}\text{(C)}=\tfrac{9}{40}. Como os autovalores desse 2\times2 são conjugados complexos (discriminante negativa), o módulo de cada um deles satisfaz
Além disso há o autovalor \lambda=0 (pela coluna nula), logo
\rho(B_{GS})\approx 0{,}118535<1.
Conclusão: Gauss–Seidel também converge (e com um fator de contração muito menor que o de Jacobi, o que significa geralmente convergência bem mais rápida).]
Passo 5
Resumo da conclusão teórica (antes de praticar): ambos os métodos Jacobi e Gauss–Seidel convergem, porque seus raios espectrais são menores que 1 (\rho(B_J)\approx0{,}545 e \rho(B_{GS})\approx0{,}1185). Vou escolher Gauss–Seidel para as iterações praticadas porque converge mais rápido (menor \rho) — isso facilita ver redução do erro já em poucas iterações.
Passo 6
Cálculo da solução exata (preciso para medir erro relativo). Resolvendo o sistema por eliminação (passos com frações):
a partir de Q_{1}=9-\tfrac{1}{4}Q_{2}-\tfrac{1}{4}Q_{3}\) e substituindo nas outras equações obtemos o sistema reduzido
\[\begin{cases} 23 Q_{2}+Q_{3}=-24,\\[4pt] 7 Q_{2}+25 Q_{3}=-166. \end{cases}
Resolvendo esse (2\times2] dá Q_{2}=-\tfrac{217}{284}\approx -0{,}764084507,\qquad Q_{3}=-\tfrac{1825}{284}\approx -6{,}426056338.
Então Q_{1}=9-\tfrac{1}{4}Q_{2}-\tfrac{1}{4}Q_{3}=\tfrac{6133}{568}\approx 10{,}797535211.
Portanto a solução exata é x^{*}=\begin{pmatrix}\tfrac{6133}{568}\\[4pt]-\tfrac{217}{284}\\[4pt]-\tfrac{1825}{284}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}10{,}79753521\\[4pt]-0{,}76408451\\[4pt]-6{,}42605634\end{pmatrix}.]
Passo 7
Gauss–Seidel: fórmula de iteração componente a componente (explicação breve)
a cada iteração k atualizamos sequencialmente
(a) O sistema converge tanto pelo método de Jacobi quanto pelo método de Gauss–Seidel (os raios espectrais são aproximadamente \rho(B_{J})\approx 0{,}545<1 e \rho(B_{GS})\approx 0{,}1185<1).
(b) Usando Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0)^{T}: