Considere o sistema linear a seguir
\left[\begin{array}{ccc} 0,8 & -0,4 & 0 \\\\ -0,4 & 8,8 & -0,4 \\\\ 0 & -0,4 & 0,8 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 41 \\\\ 25 \\\\ 105 \end{array}\right]
Independente da convergência do sistema, realize 2 iterações do método de GaussSeidel, caculando o erro relativo do vetor solução em cada iteração.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (matriz A multiplicando o vetor x igual ao vetor b):
A=\begin{pmatrix} 0,8 & -0,4 & 0 \\\\ -0,4 & 8,8 & -0,4 \\\\ 0 & -0,4 & 0,8 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}41\\\ 25\\\ 105\end{pmatrix}.
O que o exercício pede:
  1. Realizar exatamente 2 iterações do método de Gauss–Seidel, independentemente de convergência.
  2. Em cada iteração calcular o erro relativo do vetor solução obtido nessa iteração.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes da matriz A e os termos independentes b. O enunciado não fornece um palpite inicial x^{(0)}; por convenção (e porque é padrão em exercícios quando não é dado), vou tomar o palpite inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 2

Breve explicação didática do método de Gauss–Seidel (sem pular passos):
  • O método resolve iterativamente o sistema linear A x=b\) reescrevendo cada equação para a incógnita correspondente e atualizando as componentes do vetor solução uma a uma, cada vez usando os valores mais recentes disponíveis (por isso é distinto do método de Jacobi). - Para a nossa matriz \(A\) as equações escalares são: \[\begin{cases} 0,8\,x_{1}-0,4\,x_{2}=41,\\[4pt] -0,4\,x_{1}+8,8\,x_{2}-0,4\,x_{3}=25,\\[4pt] -0,4\,x_{2}+0,8\,x_{3}=105. \end{cases}
Isolando cada x_i\] (colocando os demais termos no lado direito), obtemos as fórmulas de iteração que vamos usar no Gauss–Seidel: \[\begin{aligned} x_{1} &= \frac{41+0,4\,x_{2}}{0,8},\\[4pt] x_{2} &= \frac{25+0,4\,x_{1}+0,4\,x_{3}}{8,8},\\[4pt] x_{3} &= \frac{105+0,4\,x_{2}}{0,8}. \end{aligned}\] Observação sobre sinais: por exemplo, na primeira equação \(0,8x_1-0,4x_2=41 ao isolar x_1 passamos -0,4x_2 para o lado direito como +0,4x_2.
  • Definição do erro relativo usada aqui (explico o porquê e o cálculo): vou usar a norma infinito (máximo valor absoluto entre componentes) para medir o erro relativo entre iterações, que é prática comum e fácil de calcular sem calculadora sofisticada. Para duas iterações consecutivas x^{(k-1)} e x^{(k)} o erro relativo que usarei é
\text{erro relativo}=\frac{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}}{\|x^{(k)}\|_{\infty}},
onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Isso mede a maior mudança relativa entre os componentes entre duas iterações.]

Passo 3

Primeira iteração (a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T). Vou calcular cada componente com passos aritméticos bem explicados.
Fórmulas de iteração lembradas:
\begin{aligned} x_{1}^{(k)} &= \frac{41+0,4\,x_{2}^{(k-1)}}{0,8},\\[4pt] x_{2}^{(k)} &= \frac{25+0,4\,x_{1}^{(k)}+0,4\,x_{3}^{(k-1)}}{8,8},\\[4pt] x_{3}^{(k)} &= \frac{105+0,4\,x_{2}^{(k)}}{0,8}. \end{aligned}
Com x^{(0)}=(0,0,0):
Cálculo de x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{41+0,4\cdot 0}{0,8}=\frac{41}{0,8}.
Para dividir por 0,8 podemos multiplicar por 5/4 (porque 1/0,8=5/4):
x_{1}^{(1)}=41\cdot\frac{5}{4}=\frac{41\cdot 5}{4}=\frac{205}{4}=51,25.
Cálculo de x_{2}^{(1)} (usando x_{1}^{(1)} recém-calculado e x_{3}^{(0)}=0):
x_{2}^{(1)}=\frac{25+0,4\cdot 51,25+0,4\cdot 0}{8,8}=\frac{25+20,5}{8,8}=\frac{45,5}{8,8}.
Dividindo 45,5 por 8,8 obtemos (decimal):
x_{2}^{(1)}\approx 5,170454545\quad\left(\text{valor exato racional } \frac{455}{88}\right).
Cálculo de x_{3}^{(1)} (usando x_{2}^{(1)} mais recente):
x_{3}^{(1)}=\frac{105+0,4\cdot 5,170454545}{0,8}=\frac{105+2,068181818}{0,8}=\frac{107,068181818}{0,8}.
Dividindo por 0,8:
x_{3}^{(1)}\approx 133,835227273\quad\left(\text{valor exato racional } \frac{23555}{176}\right).
Portanto o vetor após a primeira iteração é
x^{(1)}=\begin{pmatrix}51,25\\[2pt]5,170454545\\[2pt]133,835227273\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo do erro relativo após a primeira iteração (comparando x^{(1)} com x^{(0)}):
  • Diferença de vetores: x^{(1)}-x^{(0)}=x^{(1)} porque x^{(0)}=0.
  • Norma infinito do numerador: \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max\{51,25;\;5,170454545;\;133,835227273\}=133,835227273.
  • Norma infinito do denominador: \|x^{(1)}\|_{\infty}=133,835227273.
Assim o erro relativo é
\text{erro relativo}_1=\frac{133,835227273}{133,835227273}=1{,}0.
Em porcentagem, isso é 100\%. (Isso é natural na primeira iteração quando o palpite inicial é zero: a mudança máxima é exatamente o valor atual.)

Passo 5

Segunda iteração (usando x^{(1)} para obter x^{(2)}). Faço os cálculos detalhados:
Cálculo de x_{1}^{(2)} (usa x_{2}^{(1)}):
x_{1}^{(2)}=\frac{41+0,4\cdot 5,170454545}{0,8}=\frac{41+2,068181818}{0,8}=\frac{43,068181818}{0,8}\approx 53,835227273.
Cálculo de x_{2}^{(2)} (usa x_{1}^{(2)} novo e x_{3}^{(1)} antigo):
x_{2}^{(2)}=\frac{25+0,4\cdot 53,835227273+0,4\cdot 133,835227273}{8,8}.
Calcule os produtos:
0,4\cdot 53,835227273\approx 21,534090909,\qquad 0,4\cdot 133,835227273\approx 53,534090909.
Soma do numerador:
25+21,534090909+53,534090909=100,068181818.
Dividindo por 8,8:
x_{2}^{(2)}\approx \frac{100,068181818}{8,8}\approx 11,37138429.
Cálculo de x_{3}^{(2)} (usa x_{2}^{(2)} recém calculado):
x_{3}^{(2)}=\frac{105+0,4\cdot 11,37138429}{0,8}=\frac{105+4,548553716}{0,8}=\frac{109,548553716}{0,8}\approx 136,935692145.
Portanto o vetor após a segunda iteração é
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}53,835227273\\[2pt]11,37138429\\[2pt]136,935692145\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo do erro relativo após a segunda iteração (comparando x^{(2)} com x^{(1)}):
  • Variação componente a componente:
\begin{aligned} |x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}|&=|53,835227273-51,25|=2,585227273,\\[4pt] |x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}|&=|11,37138429-5,170454545|=6,200929745,\\[4pt] |x_{3}^{(2)}-x_{3}^{(1)}|&=|136,935692145-133,835227273|=3,100464872. \end{aligned}
  • Norma infinito do numerador: \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\{2,585227273;\;6,200929745;\;3,100464872\}=6,200929745.
  • Norma infinito do denominador: \|x^{(2)}\|_{\infty}=\max\{53,835227273;\;11,37138429;\;136,935692145\}=136,935692145.
Logo o erro relativo na segunda iteração é
\text{erro relativo}_2=\frac{6,200929745}{136,935692145}\approx 0{,}04528.
Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente 4{,}528\%.]

Resposta

x^{(1)}=\begin{pmatrix}51,25\\[2pt]5,170454545\\[2pt]133,835227273\end{pmatrix}, erro relativo na iteração 1 =1{,}0 (ou 100\%).\n
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}53,835227273\\[2pt]11,37138429\\[2pt]136,935692145\end{pmatrix}, erro relativo na iteração 2 \approx 0{,}04528 (ou \approx 4{,}528\%).]

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