Realizar exatamente 2 iterações do método de Gauss–Seidel, independentemente de convergência.
Em cada iteração calcular o erro relativo do vetor solução obtido nessa iteração.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes da matriz A e os termos independentes b. O enunciado não fornece um palpite inicial x^{(0)}; por convenção (e porque é padrão em exercícios quando não é dado), vou tomar o palpite inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Passo 2
Breve explicação didática do método de Gauss–Seidel (sem pular passos):
O método resolve iterativamente o sistema linear A x=b\) reescrevendo cada equação para a incógnita correspondente e atualizando as componentes do vetor solução uma a uma, cada vez usando os valores mais recentes disponíveis (por isso é distinto do método de Jacobi).
- Para a nossa matriz \(A\) as equações escalares são:
\[\begin{cases} 0,8\,x_{1}-0,4\,x_{2}=41,\\[4pt] -0,4\,x_{1}+8,8\,x_{2}-0,4\,x_{3}=25,\\[4pt] -0,4\,x_{2}+0,8\,x_{3}=105. \end{cases}
Isolando cada x_i\] (colocando os demais termos no lado direito), obtemos as fórmulas de iteração que vamos usar no Gauss–Seidel:
\[\begin{aligned} x_{1} &= \frac{41+0,4\,x_{2}}{0,8},\\[4pt] x_{2} &= \frac{25+0,4\,x_{1}+0,4\,x_{3}}{8,8},\\[4pt] x_{3} &= \frac{105+0,4\,x_{2}}{0,8}. \end{aligned}\]
Observação sobre sinais: por exemplo, na primeira equação \(0,8x_1-0,4x_2=41 ao isolar x_1 passamos -0,4x_2 para o lado direito como +0,4x_2.
Definição do erro relativo usada aqui (explico o porquê e o cálculo): vou usar a norma infinito (máximo valor absoluto entre componentes) para medir o erro relativo entre iterações, que é prática comum e fácil de calcular sem calculadora sofisticada. Para duas iterações consecutivas x^{(k-1)} e x^{(k)} o erro relativo que usarei é