Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
e pede para resolvê‑lo usando eliminação de Jordan com pivotação total (troca de linhas e colunas quando necessário).
Informações relevantes que já temos: as três equações e os três incógnitos \,x_{1},x_{2},x_{3}\,. A solução numérica final é o objetivo.]
Passo 2
Para evitar trabalhar com muitas casas decimais durante o processo, multiplico todas as equações por 100 (isso não altera as soluções), obtendo o sistema inteiro equivalente
Explicação rápida do que é pivotação total (para você lembrar na prova): em cada passo escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto na submatriz restante; se esse pivô não estiver na posição diagonal que queremos, trocamos linhas e colunas para trazê‑lo para a posição do pivô. Ao trocar colunas, acompanhamos a permutação das incógnitas (depois reatribuímos as soluções à ordem correta).]
Passo 3
Procuro o maior elemento absoluto da matriz dos coeficientes inteira. Os valores relevantes são 111,22,92,435,360,400; o maior é 435, que está na posição (2,2). Para levar esse pivô para (1,1) faço:
troca de linha 1 com linha 2,
troca de coluna 1 com coluna 2.
Registro a permutação de colunas: a ordem original das incógnitas era (x_1,x_2,x_3); após trocar as colunas 1 e 2 a ordem dos coeficientes passa a corresponder às incógnitas (x_2,x_1,x_3). Vou chamar esse vetor de permutação p=[2,1,3].
Após as trocas (linhas e colunas), a matriz aumentada fica
Note: as duas últimas linhas formam um sistema 2\times2 para as incógnitas que correspondem às colunas 2 e 3 (ou seja, às incógnitas \,x_1 e \,x_3, na ordem dada pelo vetor p).]
(Os cálculos de simplificação usam divisão por 69{,}600 no primeiro caso e por 8{,}880 no segundo; verificação por multiplicação mostra equivalência.)]
Passo 6
Com x_1 e x_3 encontrados, calculo x_2 a partir da primeira linha (após as trocas) que corresponde à equação
435\cdot x_2 + 22\cdot x_1 + 360\cdot x_3 = 1200,
pois essa linha é associada a x_2 (lembre da permutação p=[2,1,3]). Isolando x_2:
Confirmação rápida (sanity check): substituir essas frações nas equações originais (ou as aproximações) satisfaz as três equações dentro do erro numérico esperado.