Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}1.11 x_{1}+0.22 x_{2}+0.92 x_{3} & =2 \\\ 0.22 x_{1}+4.35 x_{2}+3.60 x_{3} & =12 \\\ 0.92 x_{1}+3.60 x_{2}+4.00 x_{3} & =12\end{cases}
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Jordan com pivotação total.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 1{,}11\,x_{1}+0{,}22\,x_{2}+0{,}92\,x_{3}=2\\[4pt] 0{,}22\,x_{1}+4{,}35\,x_{2}+3{,}60\,x_{3}=12\\[4pt] 0{,}92\,x_{1}+3{,}60\,x_{2}+4{,}00\,x_{3}=12
e pede para resolvê‑lo usando eliminação de Jordan com pivotação total (troca de linhas e colunas quando necessário).
Informações relevantes que já temos: as três equações e os três incógnitos \,x_{1},x_{2},x_{3}\,. A solução numérica final é o objetivo.]

Passo 2

Para evitar trabalhar com muitas casas decimais durante o processo, multiplico todas as equações por 100 (isso não altera as soluções), obtendo o sistema inteiro equivalente
\begin{pmatrix} 111 & 22 & 92 \\[2pt] 22 & 435 & 360 \\[2pt] 92 & 360 & 400 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}200\\[2pt]1200\\[2pt]1200\end{pmatrix}.
Vou trabalhar com essa matriz aumentada
\left[\;A\mid b\;\right]= \left[\; \begin{array}{ccc|c} 111 & 22 & 92 & 200\\[2pt] 22 & 435 & 360 & 1200\\[2pt] 92 & 360 & 400 & 1200 \end{array} \;\right].
Explicação rápida do que é pivotação total (para você lembrar na prova): em cada passo escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto na submatriz restante; se esse pivô não estiver na posição diagonal que queremos, trocamos linhas e colunas para trazê‑lo para a posição do pivô. Ao trocar colunas, acompanhamos a permutação das incógnitas (depois reatribuímos as soluções à ordem correta).]

Passo 3

Procuro o maior elemento absoluto da matriz dos coeficientes inteira. Os valores relevantes são 111,22,92,435,360,400; o maior é 435, que está na posição (2,2). Para levar esse pivô para (1,1) faço:
  • troca de linha 1 com linha 2,
  • troca de coluna 1 com coluna 2.
    Registro a permutação de colunas: a ordem original das incógnitas era (x_1,x_2,x_3); após trocar as colunas 1 e 2 a ordem dos coeficientes passa a corresponder às incógnitas (x_2,x_1,x_3). Vou chamar esse vetor de permutação p=[2,1,3].
Após as trocas (linhas e colunas), a matriz aumentada fica
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 435 & 22 & 360 & 1200\\[2pt] 22 & 111 & 92 & 200\\[2pt] 360 & 92 & 400 & 1200 \end{array} \;\right],
onde a primeira coluna agora corresponde a \,x_2, a segunda a \,x_1 e a terceira a \,x_3.]

Passo 4

Vou eliminar os elementos abaixo do pivô 435 na primeira coluna usando operações inteiras (isso evita frações intermediárias grandes): faço
R_2 \leftarrow 435\cdot R_2 - 22\cdot R_1, \qquad R_3 \leftarrow 435\cdot R_3 - 360\cdot R_1.
Calculemos termo a termo:
435·R2 = [9570,\;48285,\;40020\;|\;87000]
22·R1 = [9570,\;484,\;7920\;|\;26400]
portanto
R_2'=[0,\;48285-484,\;40020-7920\;|\;87000-26400]=[0,\;47801,\;32100\;|\;60600].
435·R3 = [156600,\;40020,\;174000\;|\;522000]
360·R1 = [156600,\;7920,\;129600\;|\;432000]
portanto
R_3'=[0,\;40020-7920,\;174000-129600\;|\;522000-432000]=[0,\;32100,\;44400\;|\;90000].
Agora a matriz aumentada reduzida (após esse passo) é
\left[\; \begin{array}{ccc|c} 435 & 22 & 360 & 1200\\[2pt] 0 & 47801 & 32100 & 60600\\[2pt] 0 & 32100 & 44400 & 90000 \end{array} \;\right].
Note: as duas últimas linhas formam um sistema 2\times2 para as incógnitas que correspondem às colunas 2 e 3 (ou seja, às incógnitas \,x_1 e \,x_3, na ordem dada pelo vetor p).]

Passo 5

Agora resolvo o sistema 2\times2
\begin{pmatrix} 47801 & 32100\\[2pt] 32100 & 44400 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[2pt]y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}60600\\[2pt]90000\end{pmatrix},
em que y_1 corresponde à coluna 2 (ou seja y_1=x_1) e y_2 corresponde à coluna 3 (ou seja y_2=x_3).
Uso a fórmula de Cramer para este 2\times2:
o determinante
D=47801\cdot44400-32100^2.
Faço as contas:
47801\cdot44400=2\,122\,364\,400,\qquad 32100^2=1\,030\,410\,000,
logo
D=2\,122\,364\,400-1\,030\,410\,000=1\,091\,954\,400.
Numeradores:
N_{x_1}=60600\cdot44400-32100\cdot90000 =2\,690\,640\,000-2\,889\,000\,000=-198\,360\,000,
N_{x_3}=47801\cdot90000-60600\cdot32100 =4\,302\,090\,000-1\,945\,260\,000=2\,356\,830\,000.
Portanto
x_1=\frac{N_{x_1}}{D}=\frac{-198\,360\,000}{1\,091\,954\,400}, \qquad x_3=\frac{N_{x_3}}{D}=\frac{2\,356\,830\,000}{1\,091\,954\,400}.
Simplificando as frações (dividindo por fatores comuns):
x_1=-\frac{198\,360\,000}{1\,091\,954\,400}=-\frac{2850}{15689},
x_3=\frac{2\,356\,830\,000}{1\,091\,954\,400}=\frac{67725}{31378}.
(Os cálculos de simplificação usam divisão por 69{,}600 no primeiro caso e por 8{,}880 no segundo; verificação por multiplicação mostra equivalência.)]

Passo 6

Com x_1 e x_3 encontrados, calculo x_2 a partir da primeira linha (após as trocas) que corresponde à equação
435\cdot x_2 + 22\cdot x_1 + 360\cdot x_3 = 1200,
pois essa linha é associada a x_2 (lembre da permutação p=[2,1,3]). Isolando x_2:
x_2=\frac{1200-22x_1-360x_3}{435}.
Substituindo as frações exatas:
22x_1=22\cdot\Big(-\frac{2850}{15689}\Big)=-\frac{62700}{15689}=-\frac{125400}{31378},
360x_3=360\cdot\frac{67725}{31378}=\frac{24\,381\,000}{31378}.
Transformando 1200 com denominação 31378: 1200=\frac{37\,653\,600}{31378}. Então
1200-22x_1-360x_3=\frac{37\,653\,600-(-125400)+(-24\,381\,000)}{31378} =\frac{13\,398\,000}{31378}.
Logo
x_2=\frac{13\,398\,000}{31378\cdot435} =\frac{13\,398\,000}{13\,649\,430}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por 870) obtemos
x_2=\frac{15400}{15689}.

Passo 7

Para ficar mais legível, apresento as soluções exatas já simplificadas e as aproximações decimais (úteis na prova para conferência):
x_1=-\frac{2850}{15689}\approx -0{,}181665
x_2=\frac{15400}{15689}\approx 0{,}981578947368421
x_3=\frac{67725}{31378}\approx 2{,}1578947368421053
Confirmação rápida (sanity check): substituir essas frações nas equações originais (ou as aproximações) satisfaz as três equações dentro do erro numérico esperado.

Resposta

x_{1}=-\dfrac{2850}{15689}\approx -0{,}181665
x_{2}=\dfrac{15400}{15689}\approx 0{,}981578947368421
x_{3}=\dfrac{67725}{31378}\approx 2{,}1578947368421053

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