Considere o sistema de equações lineares:
\text { S) }\left\{\begin{array}{l} 3 x+6 y-3 z=k+8 \\\\ 2 x+k y+4 z=3 \\\\ 3 x+6 y+(k+1) z=4 \end{array}\right.
onde k \in \mathbb{R} é uma constante dada.
i) Escreva a matriz ampliada do sistema.
ii) Reduza a matriz ampliada à forma escalonada.
iii) Encontre uma matriz P tal que P \cdot M=M_{1}, onde M é a matriz ampliada do sistema S ) e M_{1} a matriz linha-equivalente na forma escalonada calculada no item anterior.
iv) Determine todos os valores possíveis para k, caso existam, para que o sistema:
  • tenha solução única;
  • tenha infinitas soluçōes;
  • nĩo tenha solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\text{S)}\begin{cases} 3x+6y-3z = k+8,\\\\ 2x+k\,y+4z = 3,\\\\ 3x+6y+(k+1)z = 4, \end{cases}
com incógnitas x,y,z e parâmetro real k.
O conteúdo é eliminação de Gauss: vamos montar a matriz ampliada, escalonar por operações elementares e identificar as condições em k para soluções.

Passo 2

A matriz ampliada M do sistema é
M = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -3 & \vline & k+8\\\\ 2 & k & 4 & \vline & 3\\\\ 3 & 6 & k+1 & \vline & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos duas operações de linha para zerar abaixo de a_{11}=3:
  1. L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{2}{3}L_1,
  2. L_3 \leftarrow L_3 - L_1.
    Isso gera a matriz escalonada
M_1 = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -3 & \vline & k+8\\[0.3em] 0 & k-4 & 6 & \vline & -\frac{2k+7}{3}\\[0.3em] 0 & 0 & k+4 & \vline & -\,\bigl(k+4\bigr) \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cada linha-equivalência corresponde a uma matriz elementar. Definimos
E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac{2}{3} & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Então P=E_3\,E_2 satisfaz
P\,M = M_1,
isto é,
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[0.3em] -\tfrac{2}{3} & 1 & 0\\[0.3em] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Na forma escalonada, pivôs são \;3 (sempre não nulo), \,k-4, \,k+4.
  • Solução única: todos os pivôs \neq 0.
k-4 \neq 0 \quad\text{e}\quad k+4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; k \neq 4,\;k \neq -4.
  • Sem solução: surge linha 0\,0\,\alpha = \beta com \alpha=0 e \beta\neq0. Em k=4, temos
    \,k-4=0 mas k+4=8\neq0, e da segunda linha vem 6z=-(2\cdot4+7)/3=-5, logo z=-5/6, enquanto da terceira linha 8z=-8 z=-1. Inconsistente.
    Portanto sem solução se k=4.
  • Infinitas soluções: último pivô k+4=0 e a linha correspondente fica 0=0 sem contradição, restando 2 pivôs para 3 incógnitas.
    Logo infinitas soluções se k=-4.

Resposta

Para o sistema S):
  • solução única se k\neq 4 e k\neq -4;
  • sem solução se k=4;
  • infinitas soluções se k=-4.

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