Considero a matriz
D=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 2 & 0 & 0 & -1 \\\\ -2 & 2 & 2 & 0 & 0 \\\\ 6 & 2 & -6 & 2 & 2 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)
i) Calcule o determinante de D,
ii) Calcule o determinante de D^{T}.
iii) Calcule o posto de D.
iv) Calcule D^{-1}, a matriz inversa de D, usando operações elementares nas suas linhas (método de Gauss-Jordan).
v) Calcule o determinante de D^{-1}
vi) Use D^{-1} para calcular a solução do sistema de equações lineares D x=b onde b=(1,1,1,1,1)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 2 & 0 & 0 & -1 \\\\ -2 & 2 & 2 & 0 & 0 \\\\ 6 & 2 & -6 & 2 & 2 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede (i) o determinante de D, (ii) o determinante de D^{T}, (iii) o posto de D, (iv) a inversa D^{-1} pelo método de Gauss–Jordan, (v) \det(D^{-1}) e (vi) a solução de D\,x=b com b=(1,1,1,1,1)^{T}. Vamos usar expansão de determinantes, propriedades de matrizes (transposta, determinante, posto) e eliminação de Gauss–Jordan.

Passo 2

Para calcular \det(D) expandimos pela primeira linha, única não-nula em (1,1):
\det(D)=2\;\det(M),
onde
M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1\\\\ 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 2 & -6 & 2 & 2\\\\ -2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Em seguida expande-se M pela terceira coluna (apenas M_{3,3}=2\neq0):
\det(M) =2\;\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} =2\cdot4=8.
Logo
\det(D)=2\cdot8=16.

Passo 3

Pela propriedade \det(D^{T})=\det(D), temos
\det(D^{T})=16.

Passo 4

Como \det(D)\neq0, a matriz é invertível e seu posto é o número de linhas ou colunas, ou seja,
\mathrm{rank}(D)=5.

Passo 5

Aplicando eliminação de Gauss–Jordan ao sistema aumentado \bigl[D\mid I_{5}\bigr], normalizando pivôs e eliminando acima e abaixo, chega-se à forma \bigl[I_{5}\mid D^{-1}\bigr]. O resultado é
D^{-1}=\begin{pmatrix} \frac12 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & \tfrac12\\\\ -\tfrac12 & -1 & \tfrac12 & 0 & -\tfrac12\\\\ -5 & -5 & \tfrac32 & \tfrac12 & -3\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Como de geral \det(D^{-1}) = 1/\det(D), segue
\det(D^{-1})=\frac1{16}.

Passo 7

Para resolver D\,x=b basta calcular x=D^{-1}b com b=(1,1,1,1,1)^{T}. Fazendo o produto, obtemos
x=\begin{pmatrix} \frac12\\[6pt] \frac52\\[6pt] -\frac32\\[6pt] -11\\[6pt] 3 \end{pmatrix}.]

Resposta

(i) \det(D)=16
(ii) \det(D^{T})=16
(iii) \mathrm{rank}(D)=5
(iv) D^{-1}=\begin{pmatrix} \frac12 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & \tfrac12\\\\ -\tfrac12 & -1 & \tfrac12 & 0 & -\tfrac12\\\\ -5 & -5 & \tfrac32 & \tfrac12 & -3\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(v) \det(D^{-1})=\tfrac1{16}
(vi) x=(\tfrac12,\;\tfrac52,\;-\tfrac32,\;-11,\;3)^{T}.

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