As seguintes afirmações são verdaderas ou falsas? Em cuida caso justifique sua resposta. (Caso a afirmação seja falsa, apresente um contra-exemplo).
"Dadas duas matrizes de 2 \times 2, A e B, vale a seguinte relação: \operatorname{det}(A, B)=\operatorname{det}(\underset{\sim}{B})^{T} \cdot \operatorname{det}\left(A^{T}\right) . ""

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes 2\times2 A e B, vale a igualdade
\det(AB)=\det\bigl(B^{T}\bigr)\,\cdot\,\det\bigl(A^{T}\bigr).
O conteúdo necessário são as propriedades de determinante de produto de matrizes e de matriz transposta.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer matriz quadrada M, vale a propriedade
\det\bigl(M^{T}\bigr)=\det(M).

Passo 3

Também sabemos que, para duas matrizes quadradas compatíveis A e B,
\det(AB)=\det(A)\,\cdot\,\det(B).

Passo 4

Usando as duas propriedades acima:
\det\bigl(B^{T}\bigr)=\det(B), \qquad \det\bigl(A^{T}\bigr)=\det(A),
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\det\bigl(B^{T}\bigr)\,\cdot\,\det\bigl(A^{T}\bigr) =\det(B)\,\cdot\,\det(A) =\det(A)\,\cdot\,\det(B) =\det(AB).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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