Usando escalonamento, determine a inversa da matriz:
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}
usando escalonamento (método de Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e aplicar operações de linha para transformá-la em \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\\\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
O pivô na linha 1 já é 1.

Passo 3

Zeramos o elemento abaixo do pivô da coluna 1 com \displaystyle R_{3}\leftarrow R_{3}-5\,R_{1}. Obtemos
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1 \end{array}\right).

Passo 4

O pivô da linha 2 já é 1. Agora eliminamos acima e abaixo dele: \displaystyle R_{1}\leftarrow R_{1}-2\,R_{2} e \displaystyle R_{3}\leftarrow R_{3}+4\,R_{2}. Fica
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right).

Passo 5

O pivô da linha 3 é 1. Eliminamos acima dele: \displaystyle R_{1}\leftarrow R_{1}+5\,R_{3} e \displaystyle R_{2}\leftarrow R_{2}-4\,R_{3}. Assim chegamos em
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5\\\\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right).
Agora temos \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Resposta

A inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\\\ 20 & -15 & -4\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

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