Defina subespaço vetorial. Verifique se o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2, P_{2}, é um espaço vetorial e se o subconjunto S= \left\{p(x) \in P_{2} \mid p(0)=0\right\} é um subespaço de P_{2}.

Passo 1

Resumindo, a questão pede primeiro a definição de subespaço vetorial e depois que a gente verifique duas coisas:
  1. se o conjunto P_{2} de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 é de fato um espaço vetorial;
  2. se o conjunto
S = \bigl\{\,p(x)\in P_{2}\mid p(0)=0\bigr\}
é um subespaço de P_{2}.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
a) W não está vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero de V),
b) é fechado sob adição u,v\in W\implies u+v\in W,
c) é fechado sob multiplicação escalar u\in W,\;\alpha\in\mathbb{K}\implies \alpha u\in W.

Passo 2

Vamos ver por que P_{2} é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{K} (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • Fechamento em adição: se
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\quad q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}
são de grau \le2, então
p(x)+q(x) = (a_{0}+b_{0}) + (a_{1}+b_{1})x + (a_{2}+b_{2})x^{2}
é também um polinômio de grau \le2.
  • Fechamento em escalar: se \alpha\in\mathbb{K} e p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}, então
\alpha\,p(x) = (\alpha a_{0}) + (\alpha a_{1})x + (\alpha a_{2})x^{2}
é grau \le2.
  • Vetor zero: o polinômio zero 0(x)=0 está em P_{2}.
  • Inverso aditivo: para p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}, o inverso -p(x) também tem grau \le2.
    Como todos os axiomas de espaço vetorial se herdam da estrutura de polinômios, concluímos que P_{2} é um espaço vetorial.

Passo 3

Agora analisamos S=\{p(x)\in P_{2}\mid p(0)=0\}.
  1. Não vazio: o polinômio zero satisfaz 0(0)=0, logo 0\in S.
  2. Fechamento em adição: se p(0)=0 e q(0)=0, então
(p+q)(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0,
logo p+q\in S.
3) Fechamento em escalar: se p(0)=0 e \alpha\in\mathbb{K}, então
(\alpha p)(0) = \alpha\,p(0) = \alpha\cdot 0 = 0,
logo \alpha p\in S.
Portanto, S satisfaz os três critérios e é subespaço de P_{2}.

Resposta

P_{2} é um espaço vetorial, e S=\{p(x)\in P_{2}\mid p(0)=0\} é de fato um subespaço de P_{2}.

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