Defina subespaço vetorial. Verifique se o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
, é um espaço vetorial e se o subconjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Resumindo, a questão pede primeiro a definição de subespaço vetorial e depois que a gente verifique duas coisas:
- se o conjunto
de todos os polinômios de grau menor ou igual a é de fato um espaço vetorial; - se o conjunto
é um subespaço de
.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
a) não está vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero de
),
b) é fechado sob adição ,
c) é fechado sob multiplicação escalar .
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: um subconjunto
a)
b) é fechado sob adição
c) é fechado sob multiplicação escalar
Passo 2
Vamos ver por que
é um espaço vetorial sobre o corpo
(por exemplo
ou
).
- Fechamento em adição: se
são de grau
, então
é também um polinômio de grau
.
- Fechamento em escalar: se
e , então
é grau
.
- Vetor zero: o polinômio zero
está em . - Inverso aditivo: para
, o inverso também tem grau .
Como todos os axiomas de espaço vetorial se herdam da estrutura de polinômios, concluímos queé um espaço vetorial.
Passo 3
Agora analisamos
.
- Não vazio: o polinômio zero satisfaz
, logo . - Fechamento em adição: se
e , então
logo
.
3) Fechamento em escalar: se e
, então
3) Fechamento em escalar: se
logo
.
Portanto, satisfaz os três critérios e é subespaço de
.
Portanto,