Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
llrx+4 y-z+w & = & 2 3 x+2 y+z+2 w & = & 5 -2 x-8 y+2 z-2 w & = & -4

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e quatro incógnitas x,y,z,w. O método de eliminação de Gauss vai nos permitir triangular o sistema, descobrir o posto (número de equações efetivas independentes) e então parametrizar as soluções livres.

Passo 2

Escolhemos a primeira equação como pivô e eliminamos x das outras duas:
A primeira equação é
x + 4y - z + w = 2
Subtraindo 3 vezes essa equação da segunda, obtemos
3x+2y+z+2w -3(x+4y -z +w)=5 -3cdot2 ;Longrightarrow;-10y +4z -w = -1
Somando 2 vezes a primeira à terceira, temos
-2x-8y+2z-2w +2(x+4y -z +w)= -4 +2cdot2 ;Longrightarrow;0=0,
que mostra que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras.

Passo 3

Ficamos com apenas duas equações independentes em quatro incógnitas, logo o posto do sistema é 2 e o número de graus de liberdade é
#variáveis - posto = 4 - 2 = 2 á

Passo 4

Chamando z=lambda e w=mu como parâmetros livres, a segunda equação reduzida
-10y +4z -w = -1
y = 1 +4lambda -mu10
Em seguida, voltamos à primeira equação
x = 2 -4y +z -w
e substituímos y,;z=lambda,;w=mu:
x = 2 -41 +4lambda -mu10 +lambda -mu = 8 -3lambda -3mu5

Resposta

As soluções ficam
x = dfrac8 - 3lambda - 3mu5, [6pt] y = dfrac1 + 4lambda - mu10, [4pt] z = lambda, w = mu,
com lambda, mu in R.
O sistema tem grau de liberdade igual a 2.]

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