Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
x+y+z+w & =0 x+y+z-w & =4 x+y-z+w & =-4 x-y+z+w & =2

Passo 1

Temos o sistema
x+y+z+w = 0, x+y+z-w = 4, x+y-z+w = -4, x-y+z+w = 2,
e vamos usar eliminação de Gauss: montamos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha até triangularizar.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 1 & 1 & -1 & 1 & -4 1 & -1 & 1 & 1 & 2 )
Fazemos
L2 L2 - L1, L3 L3 - L1, L4 L4 - L1,
obtendo
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 4 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & -2 & 0 & 0 & 2 )

Passo 3

Da segunda linha vem
-2,w = 4implies w = -2
Da terceira linha vem
-2,z = -4implies z = 2
Da quarta linha vem
-2,y = 2implies y = -1

Passo 4

Substituindo y=-1, z=2, w=-2 na primeira equação
x + y + z + w = 0
ficamos com
x + (-1) + 2 + (-2) = 0implies x -1 = 0implies x = 1

Passo 5

Encontramos solução única, ou seja, não há grau de liberdade distinto de zero.

Resposta

(x,y,z,w) = (1,-1,2,-2), grau de liberdade 0

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