Seja W(t) um movimento Browniano padrão. Considerando as propriedades de W(t), calcule a média e a variância de W_{s}+2 W_{t}, para s<t

Passo 1

O enunciado nos dá um movimento Browniano padrão W(t) e pede a média e a variância de
W_{s} + 2\,W_{t}
para s < t. Vamos usar a linearidade da esperança e a fórmula da variância de combinação linear de variáveis aleatórias, que envolve covariância.

Passo 2

Usando a linearidade da esperança e o fato de que \mathbb{E}[W_{u}]=0 para todo u, temos
\mathbb{E}[W_{s} + 2\,W_{t}] = \mathbb{E}[W_{s}] + 2\,\mathbb{E}[W_{t}] = 0 + 2\cdot 0 = 0.

Passo 3

Para a variância de uma combinação linear, vale
\mathrm{Var}(aX + bY) = a^{2}\,\mathrm{Var}(X) + b^{2}\,\mathrm{Var}(Y) + 2\,a\,b\,\mathrm{Cov}(X,Y).

Passo 4

No nosso caso a=1, X=W_{s}, b=2, Y=W_{t}. Sabemos que \mathrm{Var}(W_{s})=s, \mathrm{Var}(W_{t})=t e \mathrm{Cov}(W_{s},W_{t})=s (para s<t). Logo,
\mathrm{Var}(W_{s}+2\,W_{t}) =1^{2}\,s + 2^{2}\,t +2\cdot1\cdot2\cdot s = s +4\,t +4\,s =5\,s +4\,t.

Resposta

\mathbb{E}[W_{s}+2\,W_{t}]=0 \mathrm{Var}(W_{s}+2\,W_{t})=5\,s+4\,t

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