Seja
um movimento Browniano padrão. Considerando as propriedades de
, calcule a média e a variância de
, para
Passo 1
O enunciado nos dá um movimento Browniano padrão
e pede a média e a variância de
para
. Vamos usar a linearidade da esperança e a fórmula da variância de combinação linear de variáveis aleatórias, que envolve covariância.
Passo 2
Usando a linearidade da esperança e o fato de que
para todo
, temos
Passo 3
Para a variância de uma combinação linear, vale
Passo 4
No nosso caso
,
,
,
. Sabemos que
,
e
(para
). Logo,