Considere o sistema forçado sem amortecimento
u +u=3 cos w t, u(0)=0, u^prime(0)=0.
Determine a solução para w neq 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem para um sistema forçado sem amortecimento. A equação é:
u'' + u = 3 cos(w t)
com as condições iniciais u(0) = 0 e u'(0) = 0 . Nosso objetivo é encontrar a solução para w neq 1 . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos de solução de equações não homogêneas, como o método dos coeficientes não determinados.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada:
u'' + u = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução genérica dessa equação é:
uh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular up(t) para a equação completa:
u'' + u = 3 cos(w t)
Como o lado direito é uma função cosseno, vamos tentar uma solução particular da forma:
up(t) = A cos(w t) + B sin(w t)
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos derivar up(t) para substituir na equação:
up'(t) = -A w sin(w t) + B w cos(w t)
up''(t) = -A w^2 cos(w t) - B w^2 sin(w t)
Substituindo up(t) e up''(t) na equação original:
(-A w^2 cos(w t) - B w^2 sin(w t)) + (A cos(w t) + B sin(w t)) = 3 cos(w t)
Simplificando:
A(1 - w^2) cos(w t) + B(1 - w^2) sin(w t) = 3 cos(w t)

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t , os coeficientes das funções cosseno e seno devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o sistema de equações:
A(1 - w^2) = 3
B(1 - w^2) = 0
Como w neq 1 , temos 1 - w^2 neq 0 . Portanto, da segunda equação:
B = 0
E da primeira:
A = 31 - w^2

Passo 6

Então, a solução particular é:
up(t) = 31 - w^2 cos(w t)
Agora, a solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
u(t) = uh(t) + up(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + 31 - w^2 cos(w t)

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2 .
Primeiro, u(0) = 0 :
C1 cos(0) + C2 sin(0) + 31 - w^2 cos(0) = 0
Simplificando:
C1 + 31 - w^2 = 0 Rightarrow C1 = -31 - w^2
Segundo, u'(0) = 0 . Vamos derivar u(t) :
u'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) - 3w1 - w^2 sin(w t)
Aplicando t = 0 :
-C1 sin(0) + C2 cos(0) - 3w1 - w^2 sin(0) = 0
Simplificando:
C2 = 0

Resposta

Substituindo C1 e C2 na solução geral, temos:
u(t) = -31 - w^2 cos(t) + 31 - w^2 cos(w t)
Ou, reorganizando:
u(t) = 31 - w^2 ( cos(w t) - cos(t) )
Essa é a solução para a equação dada com w neq 1 .

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