Considere o sistema forçado sem amortecimento
.
Determine a solução para
Determine a solução para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem para um sistema forçado sem amortecimento. A equação é:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a solução para
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos de solução de equações não homogêneas, como o método dos coeficientes não determinados.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução genérica dessa equação é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é uma função cosseno, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes das funções cosseno e seno devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o sistema de equações:
Como
, temos
. Portanto, da segunda equação:
E da primeira:
Passo 6
Então, a solução particular é:
Agora, a solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Simplificando:
Segundo,
. Vamos derivar
:
Aplicando
:
Simplificando:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Ou, reorganizando:
Essa é a solução para a equação dada com
.