Suponha f(x) >= 0 e contínua em [a, b], com a>0, e considere a região
A=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, 0 <= y <= f(x)
Usando o método das cascas cilíndricas pode-se mostrar que o volume V do sólido obtido pela rotação da regição A, em torno do eixo y, é dado por
V=2 pi integrala^b x f(x) d x
Utilize tal fórmula para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, das seguintes regiões:
A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi, 0 <= y <= sen x.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido obtido ao girar uma região $ A $ em torno do eixo $ y $. A região $ A $ está definida por $ 0 \leq x \leq \pi $ e $ 0 \leq y \leq \sin x $. Usaremos o método das cascas cilíndricas, que envolve integração para encontrar volumes de sólidos de revolução. A fórmula que vamos usar é:
A
Aqui, $ f(x) = \sin x $, $ a = 0 $ e $ b = \pi $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula. O método das cascas cilíndricas basicamente empilha cilindros fininhos (cascas) ao redor do eixo de rotação. A altura de cada casca é dada por $ f(x) = \sin x $, e a distância do eixo $ y $ é $ x $. Multiplicamos por $ 2\pi x $ para considerar a circunferência completa da casca.
Então, substituindo na fórmula:
f(x) = sin x

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral $ \int_{0}^{\pi} x \sin x , dx $. Para isso, precisamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
integral0^pi x sin x , dx
Vamos escolher:
  • $ u = x $ integral u , dv = uv - integral v , du $ du = dx $
  • $ dv = \sin x , dx $ u = x $ v = -\cos x $
Aplicando:
Rightarrow

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de $ 0 $ a $ \pi $:
0
Calculando nos limites:
  • Em $ x = \pi $: pi
  • Em $ x = 0 $: [ -x cos x + sin x ]0^pi
Portanto, a integral resulta em $ \pi - 0 = \pi $.

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região $ A $ em torno do eixo $ y $ é:
A

Exercícios relacionados