Suponha
e contínua em
, com
, e considere a região
Usando o método das cascas cilíndricas pode-se mostrar que o volume
do sólido obtido pela rotação da regição
, em torno do eixo
, é dado por
Utilize tal fórmula para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, das seguintes regiões:
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido obtido ao girar uma região $ A $ em torno do eixo $ y $. A região $ A $ está definida por $ 0 \leq x \leq \pi $ e $ 0 \leq y \leq \sin x $. Usaremos o método das cascas cilíndricas, que envolve integração para encontrar volumes de sólidos de revolução. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, $ f(x) = \sin x $, $ a = 0 $ e $ b = \pi $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula. O método das cascas cilíndricas basicamente empilha cilindros fininhos (cascas) ao redor do eixo de rotação. A altura de cada casca é dada por $ f(x) = \sin x $, e a distância do eixo $ y $ é $ x $. Multiplicamos por $ 2\pi x $ para considerar a circunferência completa da casca.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral $ \int_{0}^{\pi} x \sin x , dx $. Para isso, precisamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
- $ u = x $
$ du = dx $ - $ dv = \sin x , dx $
$ v = -\cos x $
Aplicando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral definida de $ 0 $ a $ \pi $:
Calculando nos limites:
- Em $ x = \pi $:
- Em $ x = 0 $:
Portanto, a integral resulta em $ \pi - 0 = \pi $.
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região $ A $ em torno do eixo $ y $ é: