Considere um sistema gasoso com a seguinte composição:
Componentes % molar
Metano 80,5
Etano 3,7
Propano 9,5
Dióxido de carbono 6,3
Determine:
Densidade da mistura quando aquecida a 227 \mathrm{~K} \mathrm{e} \mathrm{2,4} \mathrm{\cdot 105} \mathrm{Pa;}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: densidade da mistura gasosa nas condições dadas.
  • Dados (peguei os percentuais do enunciado): \begin{array}{lcl} \text{Metano} &:& 80,5\% \\\ \text{Etano} &:& 3,7\% \\\ \text{Propano} &:& 9,5\% \\\ \text{Dióxido de carbono} &:& 6,3\% \end{array}ó
  • Condições (peguei do enunciado): T=227\\ \mathrm{K},\qquad P=2{,}4\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Objetivo operacional: a densidade \rho (massa por volume) da mistura naquelas condições.

Passo 2

Escolha do método e fórmula básica (vamos trabalhar passo a passo e eu explico tudo).
  • Método escolhido: tratar a mistura como gás ideal e usar a lei dos gases ideais. Por que? É o método mais direto e geralmente recomendado quando não foi pedido correção por não-idealidade; além disso permite calcular densidade com pouca conta de prova.
  • Fórmula que usamos (derivação curta): a lei dos gases ideais para uma quantidade de substância n é PV=nRT.Se considerarmos n mols totais, a massa total m = n\bar M, onde \bar M é a massa molar média da mistura (kg/mol). O volume é V. Então P V = n R T \quad\Rightarrow\quad P = \frac{n R T}{V} = \frac{m}{V}\cdot\frac{R T}{\bar M}.Reorganizando para a densidade \rho = \dfrac{m}{V} obtemos a fórmula muito útil: \rho = \frac{P\,\bar M}{R\,T}.Onde:
    • \rho é a densidade (kg·m^{-3}),
    • P é a pressão (Pa),
    • \bar M é a massa molar média da mistura (kg·mol^{-1}),
    • R é a constante dos gases ideais (J·mol{-1}·K{-1}),
    • T é a temperatura (K).
  • Próxima tarefa: calcular \bar M da mistura a partir das frações molares, depois aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Converter os percentuais molares em frações molares.
  • Percentuais dados são em % molar, então a fração molar x_i de cada componente é simplesmente o percentual dividido por 100: \begin{aligned} x_{\text{CH}_4} &= 0{,}805,\\\ x_{\text{C}_2\text{H}_6} &= 0{,}037,\\\ x_{\text{C}_3\text{H}_8} &= 0{,}095,\\\ x_{\text{CO}_2} &= 0{,}063. \end{aligned}
  • Confirmação rápida: 0{,}805+0{,}037+0{,}095+0{,}063=1{,}000. Perfeito — as frações somam 1.

Passo 4

Obter as massas molares dos componentes e colocá‑las em unidades compatíveis (kg·mol^{-1}).
  • Usamos massas molares padrão (valores aproximados a partir das massas atômicas): \begin{aligned} M_{\text{CH}_4} &= 16{,}04\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0{,}01604\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}},\\\ M_{\text{C}_2\text{H}_6} &= 30{,}07\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0{,}03007\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}},\\\ M_{\text{C}_3\text{H}_8} &= 44{,}10\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0{,}04410\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}},\\\ M_{\text{CO}_2} &= 44{,}01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0{,}04401\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}. \end{aligned}
  • Observação: converti de g·mol^{-1} para kg·mol^{-1} dividindo por 1000.

Passo 5

Calcular a massa molar média \bar M da mistura usando a média ponderada pelas frações molares.
  • Fórmula: \bar M = \sum_i x_i M_i.
  • Substituindo e calculando termo a termo: \begin{aligned} x_{\text{CH}_4}M_{\text{CH}_4} &= 0{,}805\cdot0{,}01604 = 0{,}0129162,\\\ x_{\text{C}_2\text{H}_6}M_{\text{C}_2\text{H}_6} &= 0{,}037\cdot0{,}03007 = 0{,}0011126,\\\ x_{\text{C}_3\text{H}_8}M_{\text{C}_3\text{H}_8} &= 0{,}095\cdot0{,}04410 = 0{,}0041895,\\\ x_{\text{CO}_2}M_{\text{CO}_2} &= 0{,}063\cdot0{,}04401 = 0{,}0027726. \end{aligned}
  • Somando: \bar M = 0{,}0129162 + 0{,}0011126 + 0{,}0041895 + 0{,}0027726 = 0{,}0209909\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • Interpretação: a massa molar média da mistura é aproximadamente 20{,}99\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} (ou 0{,}0209909\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}).

Passo 6

Preparar os outros parâmetros e constantes em unidades consistentes.
  • Constante dos gases ideais (vou usar valor padrão): R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Temperatura e pressão (peguei do enunciado): T = 227\\ \mathrm{K},\qquad P = 2{,}4\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Calcular o numerador P\,\bar M e o denominador R\,T.
  • Numerador: P\,\bar M = \left(2{,}4\cdot10^{5}\right)\cdot0{,}0209909 = 5037{,}8208\\ \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}.(Unidades: Pa·kg·mol^{-1} = (N·m{-2})·(kg·mol{-1}) = kg·m{-1}·s{-2}·mol^{-1}, que ao dividir por R\,T dará kg·m^{-3}.)
  • Denominador: R\,T = 8{,}314462618\cdot227 = 1887{,}3830\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.(Unidade J·mol^{-1} = kg·m{2}·s{-2}·mol^{-1}; na divisão tudo ajusta para kg·m^{-3}.)

Passo 8

Calcular a densidade pela fórmula e arredondar.
  • Aplicando \rho = \frac{P\,\bar M}{R\,T} = \frac{5037{,}8208}{1887{,}3830} \approx 2{,}668\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
  • Comentário didático curto: esse valor faz sentido — é maior que a densidade do metano puro nas mesmas condições (metano tem massa molar menor), porque a mistura contém componentes mais pesados como propano e CO _2.

Passo 9

Resumo rápido do procedimento (para memorizar na prova)
  • Converta % molar em fração molar.
  • Pegue massas molares dos componentes (kg·mol^{-1}) e calcule \bar M=\sum x_i M_i.
  • Use \rho = \dfrac{P\,\bar M}{R\,T} com unidades consistentes.
  • Faça checagem de ordem de grandeza (comparar com densidade de um componente puro) para garantir que o resultado não é absurdo.

Resposta

2{,}668\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}

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