Considere o sistema
A=(rrr a11 & cdots & a1 n vdots & & vdots an 1 & cdots & an n )(c x1 vdots xn )=(c b1 vdots bn )
Se A é inversível, ou seja, se
|rrr a11 & cdots & a1 n vdots & & vdots an 1 & cdots & an n | neq 0
mostre que
xi=|rrrrr a11 & cdots & b1 & cdots & a1 n vdots & & vdots & & vdots an 1 & cdots & bn & cdots & an n ||rrr a11 & cdots & a1 n vdots & & an 1 & cdots & an n |,
para cada i=1, cdots, n. Esta é chamada Regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um sistema linear
A,x=b
com AinR^ntimes n invertível, cada coordenada xi da solução pode ser escrita como quociente de determinantes (Regra de Cramer). Para isso vamos usar a fórmula do inverso de A em termos da matriz adjunta (adjugada) e a expansão de determinante por cofatores.

Passo 2

Como A é invertível, sabemos que
x = A^-1b e A^-1=adj(A)det(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Denotando por Cji o cofactor de aji, fica
(adj(A))ij=Cji

Passo 3

Daí
xi = (A^-1b)i = 1det(A)sumj=1^n(adj(A))ij,bj = 1det(A)sumj=1^n Cji,bj

Passo 4

Agora considere a matriz A^(i) obtida de A substituindo sua i-ésima coluna pelo vetor b. Ao expandir detl(A^(i)r) pela coluna i (onde entram os bj), temos
detl(A^(i)r) =sumj=1^n bj;(-1)^,j+idet(Mji) =sumj=1^n bj,Cji
Portanto
sumj=1^nCji,bj=detl(A^(i)r)

Passo 5

Substituindo no resultado de xi do

Passo 6

xi =1det(A)sumj=1^nCji,bj =detl(A^(i)r)det(A)

Resposta

xi = |rrrrr a11&cdots&b1&cdots&a1n vdots& &vdots& &vdots an1&cdots&bn&cdots&ann | |rrr a11&cdots&a1n vdots& &vdots an1&cdots&ann |,
que é exatamente a Regra de Cramer.

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