Sejam alpha e beta parâmetros reais. Discuta os seguintes sistemas lineares:
& - alpha x+2 y & =6 3 x-y & =-2 x+y & =0 & - l x+y-beta z=0 beta x+y-z=2-beta x+beta y-z=-beta

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas lineares paramétricos. No primeiro, há 3 equações e 2 incógnitas (x,y), então só há solução se as três equações forem compatíveis. No segundo, é um sistema 3times3 em (x,y,z); vamos usar o determinante do sistema para ver quando há solução única e depois checar os casos singulares para ver se são consistentes ou não.

Passo 2

Começando pelo primeiro sistema
alpha x+2y=6, 3x-y=-2, x+y=0,
da terceira equação temos
y=-x
Substituindo em 3x-y=-2
3x-(-x)=-2implies4x=-2implies x=-tfrac12, y=tfrac12

Passo 3

Para que esse par l(x,yr)=(-tfrac12,tfrac12) satisfaça também alpha x+2y=6, deve valer
alphal(-tfrac12r)+2l(tfrac12r)=6 Longrightarrow -tfracalpha2+1=6 Longrightarrow alpha=-10
Logo, se alpha=-10 há exatamente uma solução l(x,yr)=(-tfrac12,tfrac12). Se alphaneq-10, a terceira equação e a segunda fixam um par (x,y) que não satisfaz a primeira, logo o sistema não tem solução.

Passo 4

Agora o segundo sistema
x+y-beta z=0, beta x+y-z=2-beta, x+beta y-z=-beta
O determinante da matriz dos coeficientes é
det A =det 1&1&-beta beta&1&-1 1&beta&-1 =-(beta-1)^2(beta+2)
Assim, se betaneq1 e betaneq-2, então det Aneq0 e existe solução única.

Passo 5

Para beta=1 a matriz é singular e o sistema vira
x+y-z=0, x+y-z=1, x+y-z=-1,
que é obviamente inconsistente (três fechos diferentes para a mesma expressão), portanto não há solução.

Passo 6

Para
Eliminando a partir da primeira e segunda, leva-se a uma contradição na terceira, então também não há solução.

Passo 7

Fica, portanto, que para betaneq1 e betaneq-2 existe solução única, que por eliminação encontra-se como
z=-2beta+2, y=-beta^2+2(beta-1)(beta+2), x=2beta+2-beta^2(beta-1)(beta+2)

Resposta

Para o primeiro sistema:
– Se alpha=-10, há solução única l(x,yr)=(-tfrac12,tfrac12).
– Se alphaneq-10, não há solução.
Para o segundo sistema:
– Se betaneq1 e betaneq-2, há solução única
x=2beta+2-beta^2(beta-1)(beta+2), y=-beta^2+2(beta-1)(beta+2), z=-2beta+2
– Se beta=1 ou beta=-2, o sistema é inconsistente e não tem solução.

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