Sejam e parâmetros reais. Discuta os seguintes sistemas lineares:
Passo 1
O enunciado apresenta dois sistemas lineares paramétricos. No primeiro, há 3 equações e 2 incógnitas (x,y), então só há solução se as três equações forem compatíveis. No segundo, é um sistema 3times3 em (x,y,z); vamos usar o determinante do sistema para ver quando há solução única e depois checar os casos singulares para ver se são consistentes ou não.
Logo, se alpha=-10 há exatamente uma solução l(x,yr)=(-tfrac12,tfrac12). Se alphaneq-10, a terceira equação e a segunda fixam um par (x,y) que não satisfaz a primeira, logo o sistema não tem solução.
Passo 4
Agora o segundo sistema
x+y-beta z=0, beta x+y-z=2-beta, x+beta y-z=-beta
O determinante da matriz dos coeficientes é
det A =det 1&1&-beta beta&1&-1 1&beta&-1 =-(beta-1)^2(beta+2)
Assim, se betaneq1 e betaneq-2, então det Aneq0 e existe solução única.
Passo 5
Para beta=1 a matriz é singular e o sistema vira
x+y-z=0, x+y-z=1, x+y-z=-1,
que é obviamente inconsistente (três fechos diferentes para a mesma expressão), portanto não há solução.
Passo 6
Para
Eliminando a partir da primeira e segunda, leva-se a uma contradição na terceira, então também não há solução.
Passo 7
Fica, portanto, que para betaneq1 e betaneq-2 existe solução única, que por eliminação encontra-se como