Sejam
e
matrizes invertíveis de ordem
. Mostre que
(a)
.
(b)
é invertível e
.
(c)
é invertível e
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três propriedades de matrizes invertíveis de ordem
:
- Como o determinante da inversa se relaciona com o determinante da matriz original.
- Que a inversa de uma inversa é a matriz original.
- Qual é a inversa do produto de duas matrizes.
Para isso, vamos usar as propriedades básicas de determinante (e ) e a definição de matriz inversa ( e ).
Passo 2
(a) Como
é invertível, sabemos que
Tomando determinante em ambos os lados e usando
e
, vem
Como
, dividindo por
obtemos
Passo 3
(b) Para ver que
é invertível, basta notar que
Isso mostra que
é inversa de
. Pela unicidade da inversa, concluímos que
Passo 4
(c) Seja
. Então
Portanto
é a inversa de
, isto é,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)