Sejam A e B matrizes invertíveis de ordem n. Mostre que
(a) det(A^-1)=(det A)^-1.
(b) A^-1 é invertível e (A^-1)^-1=A.
(c) A cdot B é invertível e (A cdot B)^-1=B^-1 cdot A^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três propriedades de matrizes invertíveis de ordem n:
  1. Como o determinante da inversa se relaciona com o determinante da matriz original.
  2. Que a inversa de uma inversa é a matriz original.
  3. Qual é a inversa do produto de duas matrizes.
    Para isso, vamos usar as propriedades básicas de determinante ( det(XY)=det Xcdotdet Y e det I=1) e a definição de matriz inversa ( A,A^-1=I e A^-1A=I).

Passo 2

(a) Como A é invertível, sabemos que
A,A^-1=I
Tomando determinante em ambos os lados e usando det(XY)=det Xcdotdet Y e det I=1, vem
det(A),detl(A^-1r)=1
Como det(A)neq0, dividindo por det(A) obtemos
detl(A^-1r)=(det A)^-1

Passo 3

(b) Para ver que A^-1 é invertível, basta notar que
A^-1,A=I
Isso mostra que A é inversa de A^-1. Pela unicidade da inversa, concluímos que
l(A^-1r)^-1=A

Passo 4

(c) Seja C=B^-1A^-1. Então
(A B),C = A,(B,B^-1),A^-1 = A,I,A^-1 =I e C,(A B) = B^-1,(A^-1A),B = B^-1,I,B =I
Portanto C é a inversa de AB, isto é,
(AB)^-1=B^-1A^-1

Resposta

(a) detl(A^-1r)=(det A)^-1
(b) l(A^-1r)^-1=A
(c) (AB)^-1=B^-1A^-1

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