Existe algum valor de a para qual o sistema é compatível e indeterminado? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com duas variáveis x e y . A pergunta é: Existe algum valor de a que faz com que esse sistema tenha infinitas soluções? Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas compatíveis e indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sistema ser compatível e indeterminado. Isso ocorre quando as duas equações representam a mesma reta, ou seja, uma é múltipla da outra. Nesse caso, o sistema não tem apenas uma solução única, mas infinitas soluções.
Passo 3
Para verificar isso, podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Se o determinante for zero, as equações são dependentes (podem representar a mesma reta).
A matriz dos coeficientes é:
1 & a 2 & a + 1
O determinante De<a é calculado por:
De<a = (1)(a + 1) - (2)(a) = a + 1 - 2a = -a + 1
Para que o determinante seja zero:
-a + 1 = 0 Rightarrow a = 1
Passo 4
Agora, vamos verificar se, para [a = 1), o sistema realmente tem infinitas soluções. Substituindo nas equações:
⇒
⇒
Simplificando a segunda equação dividindo por 2:
Comparamos com a primeira equação:
Isso é impossível, pois , o sistema fica inconsistente e não tem soluções.
Resposta
Não existe nenhum valor de a que torne o sistema compatível e indeterminado.