Para quais valores de a o sistema é incompatível? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações assim:
l x + a y = 2 2 x + (a + 1) y = 5
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de a esse sistema não tem solução. Isso significa que as duas equações não se cruzam em nenhum ponto, ou seja, são paralelas.
Passo 2
Para descobrir quando o sistema não tem solução, a gente pode olhar para os coeficientes das variáveis e usar o conceito de determinante. Se o determinante for zero, as retas são paralelas ou coincidentes. Mas pra serem incompatíveis, elas precisam ser paralelas e não coincidentes.
Passo 3
Vamos calcular o determinante D das matrizes dos coeficientes:
D = 1 & a 2 & a + 1 = 1 cdot (a + 1) - 2 cdot a = a + 1 - 2a = -a + 1
Para que as retas sejam paralelas, precisamos que D = 0 :
-a + 1 = 0 implies a = 1
Passo 4
Agora, vamos verificar se, quando a = 1 , as equações realmente não têm solução. Substituindo a = 1 nas equações:
l x + 1 cdot y = 2 2 x + (1 + 1) y = 5
Simplificando:
l x + y = 2 (1) 2x + 2y = 5 (2)
Se a gente multiplicar a equação (1) por 2:
2x + 2y = 4
Comparando com a equação (2):
2x + 2y = 5
Vemos que 4 neq 5 , o que é uma contradição. Portanto, não tem solução.