O enunciado pede o valor de k para que o sistema abaixo seja possível e indeterminado (infinita de soluções):
x + y + z = 0, x + 2y + k z = 2, k x + 2y + z = -2
Conteúdo: sistemas lineares, determinante de matriz e condição de consistência para infinitas soluções (matriz de coeficientes singular e sistema consistente).
Passo 2
Calcular o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & k k & 2 & 1
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, obtém-se
Para o sistema ter infinitas soluções, é necessário que det(A)=0. Logo
(k-1)(k-3)=0 Longrightarrow k=1 ou k=3
Passo 4
Verificar a consistência em cada caso:
As duas últimas equações contradizem-se ((2\neq -2]), logo não há solução.
Como (\det(A)=0], as linhas são dependentes. De fato,
e
confirmando que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras e o sistema é consistente. Assim, há infinitas soluções.