Determine o valor de k para que o sistema
l x+y+z=0 x+2 y+k z=2 k x+2 y+z=-2
seja:
Possível e indeterminado.

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que o sistema abaixo seja possível e indeterminado (infinita de soluções):
x + y + z = 0, x + 2y + k z = 2, k x + 2y + z = -2
Conteúdo: sistemas lineares, determinante de matriz e condição de consistência para infinitas soluções (matriz de coeficientes singular e sistema consistente).

Passo 2

Calcular o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & k k & 2 & 1
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, obtém-se
det(A) =1cdot(2cdot1 - kcdot2) -1cdot(1cdot1 - kcdot k) +1cdot(1cdot2 - 2cdot k) = k^2 -4k +3 =(k-1)(k-3)

Passo 3

Para o sistema ter infinitas soluções, é necessário que det(A)=0. Logo
(k-1)(k-3)=0 Longrightarrow k=1 ou k=3

Passo 4

Verificar a consistência em cada caso:
As duas últimas equações contradizem-se ((2\neq -2]), logo não há solução.
Como (\det(A)=0], as linhas são dependentes. De fato,

e

confirmando que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras e o sistema é consistente. Assim, há infinitas soluções.

Resposta

k=3

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