Um laboratório está desenvolvendo uma solução química que requer a mistura de duas substâncias, e . Cada grama da substância contém 3 mg de um componente ativo e 5 mg de outro. Cada grama da substância contém 2 mg do primeiro componente e 7 mg do segundo. A solução final precisa conter exatamente 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo. Determine quantos gramas das substâncias e devem ser misturados para obter a solução desejada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Estamos enfrentando um problema de mistura de substâncias que envolve um pouco de sistemas de equações lineares. A gente precisa descobrir quantas gramas das substâncias e devemos misturar para obter uma solução que tenha exatamente 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo componente. Para resolver isso, vamos montar um sistema com duas equações e duas incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
Seja a quantidade, em gramas, da substância .
Seja a quantidade, em gramas, da substância .
Agora, vamos analisar quanto de cada componente cada substância contribui:
Substância :
3 mg do primeiro componente por grama.
5 mg do segundo componente por grama.
Substância :
2 mg do primeiro componente por grama.
7 mg do segundo componente por grama.
Precisamos que a mistura final tenha exatamente 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo. Então, podemos montar as seguintes equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Vou usar o método da substituição, que é bem prático nesse caso.
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na primeira equação. Vou isolar x :
3x + 2y = 30 3x = 30 - 2y x = 30 - 2y3
Passo 4
Com o valor de x em mãos, vamos substituir essa expressão na segunda equação:
5x + 7y = 50 5( 30 - 2y3 ) + 7y = 50
Vamos simplificar:
150 - 10y3 + 7y = 50
Para eliminar o denominador, multiplicamos todos os termos por 3:
150 - 10y + 21y = 150 11y = 0 y = 0
Com y = 0 , voltamos para a expressão de x :
x = 30 - 2(0)3 = 303 = 10
Resposta
Devemos misturar 10 gramas da substância S1 e 0 gramas da substância S2 para obter a solução desejada com 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo componente.