Um laboratório está desenvolvendo uma solução química que requer a mistura de duas substâncias, S1 e S2. Cada grama da substância S1 contém 3 mg de um componente ativo e 5 mg de outro. Cada grama da substância S2 contém 2 mg do primeiro componente e 7 mg do segundo. A solução final precisa conter exatamente 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo. Determine quantos gramas das substâncias S1 e S2 devem ser misturados para obter a solução desejada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Estamos enfrentando um problema de mistura de substâncias que envolve um pouco de sistemas de equações lineares. A gente precisa descobrir quantas gramas das substâncias S1 e S2 devemos misturar para obter uma solução que tenha exatamente 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo componente. Para resolver isso, vamos montar um sistema com duas equações e duas incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja x a quantidade, em gramas, da substância S1 .
  • Seja y a quantidade, em gramas, da substância S2 .
Agora, vamos analisar quanto de cada componente cada substância contribui:
  • Substância S1 :
    • 3 mg do primeiro componente por grama.
    • 5 mg do segundo componente por grama.
  • Substância S2 :
    • 2 mg do primeiro componente por grama.
    • 7 mg do segundo componente por grama.
Precisamos que a mistura final tenha exatamente 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo. Então, podemos montar as seguintes equações:
3x + 2y = 30 (para o primeiro componente) 5x + 7y = 50 (para o segundo componente)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Vou usar o método da substituição, que é bem prático nesse caso.
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na primeira equação. Vou isolar x :
3x + 2y = 30 3x = 30 - 2y x = 30 - 2y3

Passo 4

Com o valor de x em mãos, vamos substituir essa expressão na segunda equação:
5x + 7y = 50 5( 30 - 2y3 ) + 7y = 50
Vamos simplificar:
150 - 10y3 + 7y = 50
Para eliminar o denominador, multiplicamos todos os termos por 3:
150 - 10y + 21y = 150 11y = 0 y = 0
Com y = 0 , voltamos para a expressão de x :
x = 30 - 2(0)3 = 303 = 10

Resposta

Devemos misturar 10 gramas da substância S1 e 0 gramas da substância S2 para obter a solução desejada com 30 mg do primeiro componente e 50 mg do segundo componente.

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