Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+5 x_{4}=0 \end{array}\right.
(a) Escreva o sistema na forma matricial A X=0.
(b) Escalone A.
(c) Identifique quais variáveis são pivôs e quais são variáveis livres.
(d) Escreva a solução geral do sistema em função das variáveis livres.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo com quatro incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e duas equações lineares. Vamos usar eliminação de Gauss para colocar a matriz dos coeficientes em forma escalonada, identificar variáveis pivô e livres, e então expressar a solução geral em função das variáveis livres.

Passo 2

Escrevendo o sistema na forma matricial A X=0, temos
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix}, \quad 0=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss em A:
  1. Tomamos a primeira linha como pivô.
  2. Subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2:
\text{linha}_{2}\leftarrow\text{linha}_{2}-2\,\text{linha}_{1} \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Esta é a forma escalonada de A.

Passo 4

Na forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
os pivôs estão nas colunas 1 e 2 (coeficientes de x_{1} e x_{2}), logo x_{1} e x_{2} são variáveis pivô. As colunas 3 e 4 não têm pivô, logo x_{3} e x_{4} são variáveis livres.

Passo 5

Fazendo substituição retroativa:
Da segunda linha,
x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \;\Longrightarrow\; x_{2}=-\,x_{3}-x_{4}.
Da primeira linha,
x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0 \;\Longrightarrow\; x_{1}=-\,x_{2}+x_{3}-2x_{4} =2x_{3}-x_{4}.
Portanto a solução geral é
X=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x_{3}-x_{4}\\\ -x_{3}-x_{4}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} =x_{3}\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +x_{4}\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
com x_{3},x_{4}\in\mathbb{R}.

Resposta

(a)
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix}, \quad AX=0.
(b) Forma escalonada:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
(c) Variáveis pivô: x_{1},x_{2}. Variáveis livres: x_{3},x_{4}.
(d)
X =\begin{pmatrix}2x_{3}-x_{4}\\\ -x_{3}-x_{4}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} =x_{3}\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +x_{4}\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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