Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{aligned} 2 x+2 y+2 z & =0 \\\\ -2 x+5 y+2 z & =1 \\\\ 8 x+y+4 z & =-1\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x + 2y + 2z = 0,\\\\ -2x + 5y + 2z = 1,\\\\ 8x + y + 4z = -1 \end{cases}
usando o método de Gauss–Jordan. Para isso, vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares até obter a forma reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 5 & 2 & 1\\\\ 8 & 1 & 4 & -1 \end{array}\right)
O objetivo é chegar a uma matriz em que cada pivô seja 1 e todas as outras entradas nas colunas de pivô sejam zero.

Passo 3

Primeiro, tornamos o pivô da primeira linha igual a 1 dividindo toda a linha 1 por 2:
L_1 \leftarrow \tfrac12 L_1 \quad\Longrightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ -2 & 5 & 2 & 1\\\\ 8 & 1 & 4 & -1 \end{array}\right)
Em seguida, zeramos as entradas abaixo desse pivô na coluna x:
L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1, \quad L_3 \leftarrow L_3 - 8L_1
ficando
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 7 & 4 & 1\\\\ 0 & -7 & -4 & -1 \end{array}\right)

Passo 4

Agora vamos o pivô da segunda linha para 1 dividindo-a por 7:
L_2 \leftarrow \tfrac17 L_2 \quad\Longrightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac47 & \tfrac17\\\\ 0 & -7 & -4 & -1 \end{array}\right)
Depois, zeramos as outras entradas na coluna y:
L_1 \leftarrow L_1 - L_2, \quad L_3 \leftarrow L_3 + 7L_2
obtendo
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{3}{7} & -\tfrac{1}{7}\\\\ 0 & 1 & \tfrac{4}{7} & \tfrac{1}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

Passo 5

A terceira linha é toda zero, indicando que z é variável livre. Chamemos z = t.
Da segunda linha temos
y + \tfrac{4}{7}z = \tfrac{1}{7} \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{1}{7} - \tfrac{4}{7}t.
Da primeira linha temos
x + \tfrac{3}{7}z = -\tfrac{1}{7} \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{1}{7} - \tfrac{3}{7}t.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{1}{7} - \tfrac{3}{7}t,\;\tfrac{1}{7} - \tfrac{4}{7}t,\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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