Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\\\ 2 x+3 y+z=5 \\\\ 3 x+4 y+2 z=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2,\\\\ 2x+3y+z=5,\\\\ 3x+4y+2z=7 \end{array}\right.
e pede para resolver usando o método de Gauss–Jordan, que consiste em transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (RREF) por meio de operações elementares de linha.

Passo 2

Construímos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 & 5\\\\ 3 & 4 & 2 & 7 \end{array}\right]

Passo 3

Usamos o elemento da primeira linha e primeira coluna como pivô e zeramos abaixo:
R_{2} R_{2} 2\cdot R_{1} e R_{3} R_{3} 3\cdot R_{1}, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Agora escolhemos o pivô na posição (2,2). Primeiro eliminamos R_{3} R_{3} R_{2}, e depois eliminamos o elemento acima do pivô fazendo R_{1} R_{1} R_{2}. Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
A terceira linha virou toda zero, indicando uma equação redundante e solução paramétrica.

Passo 5

Interpretamos as duas equações não triviais:
da primeira linha vem
x + 2z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 - 2z,
da segunda linha vem
y - z = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 + z.
Como não há restrição na terceira variável, definimos o parâmetro \lambda = z.

Resposta

A solução geral em função de \lambda\in\mathbb{R} é
(x,y,z) = \bigl(1 - 2\lambda,\;1 + \lambda,\;\lambda\bigr).

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