Considere o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x-y=1 \\\\ 2 x-2 y=3 \end{array}\right.
Determine, pelo Teorema de Rouché-Capelli, se o sistema tem solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x - y = 1,\\\\ 2x - 2y = 3 \end{cases}
e pede, pelo Teorema de Rouché-Capelli, determinar se ele tem solução. Vamos precisar montar a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [A|\mathbf b], calcular seus postos e compará-los.

Passo 2

A matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [A|\mathbf b] são
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}, \qquad [A|\mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \rank(A), note que a segunda linha de A é exatamente o dobro da primeira:
(2,\,-2) = 2\,(1,\,-1).
Logo todas as linhas são proporcionais e
\rank(A) = 1.

Passo 4

Agora em [A|\mathbf b] a segunda linha é (2,-2,3), que não é múltiplo de (1,-1,1) pois multiplicar por 2 daria (2,-2,2)\neq(2,-2,3). Assim
\rank([A|\mathbf b]) = 2.

Passo 5

Como pelo Teorema de Rouché-Capelli o sistema tem solução se, e somente se,
\rank(A) = \rank([A|\mathbf b]),
e aqui \rank(A)=1 enquanto \rank([A|\mathbf b])=2, concluímos que o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema não possui solução.

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