Considere o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y=2 \\\\ 2 x+2 y=4 \end{array}\right.
Use o Teorema de Rouché-Capelli para determinar se o sistema é:
(a) possível determinado,
(b) possível indeterminado,
(c) impossível.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de duas equações lineares em duas incógnitas:
\begin{cases} x + y = 2,\\\\ 2x + 2y = 4, \end{cases}
e pede para usar o Teorema de Rouché–Capelli para classificar o sistema em possível determinado, possível indeterminado ou impossível. Para isso, vamos precisar montar a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [A\mid b] e comparar seus postos.

Passo 2

A matriz de coeficientes e o vetor de termos independentes são
A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 2\\\\ 4 \end{pmatrix}.
Assim, a matriz aumentada é
[A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular o posto de A e o posto de [A\mid b]. Observando as linhas de A, a segunda linha é o dobro da primeira, logo todas as linhas são múltiplos umas das outras. Portanto,
\text{posto}(A) = 1.
Na matriz aumentada, a terceira coluna (2,4) também é o dobro da primeira linha estendida (1,1), de modo que a relação de dependência persiste. Logo,
\text{posto}([A\mid b]) = 1.

Passo 4

Pelo Teorema de Rouché–Capelli:
  • Se \text{posto}(A) = \text{posto}([A\mid b]) = n, o sistema é possível determinado.
  • Se \text{posto}(A) = \text{posto}([A\mid b]) < n, o sistema é possível indeterminado.
  • Se \text{posto}(A) < \text{posto}([A\mid b]), o sistema é impossível.
Aqui temos \text{posto}(A)=\text{posto}([A\mid b])=1 e o número de incógnitas é n=2. Como o posto é menor que n, concluímos que há infinitas soluções.

Resposta

(b) possível indeterminado.

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