Resolva, pela forma escada, os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=0 \\\\ 2 x+4 y-2 z=0 \\\\ 3 x+6 y-3 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pela forma escada (eliminação de Gauss), o sistema homogêneo em (x,y,z):
\begin{cases} x + 2y - z = 0,\\\\ 2x + 4y - 2z = 0,\\\\ 3x + 6y - 3z = 0. \end{cases}
Aqui vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações para ficar em forma escada e depois interpretar as variáveis livres e básicas.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 2 & 4 & -2 & 0\\\\ 3 & 6 & -3 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos operações nas linhas para zerar abaixo do pivô da primeira coluna:
  • L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
  • L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1 Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Só restou a equação pivô
x + 2y - z = 0.

Passo 4

Da equação pivô identificamos:
  • Variável básica: x.
  • Variáveis livres: y e z.
Para parametrizar, seja \lambda = y e \mu = z. Da equação pivô temos
x = -2y + z = -2\lambda + \mu.

Passo 5

Escrevendo a solução em termos dos parâmetros \lambda,\mu\in\mathbb{R}:
(x,y,z) = (-2\lambda + \mu,\;\lambda,\;\mu).
Em forma vetorial:
(x,y,z) = \lambda\,(-2,1,0) + \mu\,(1,0,1).

Resposta

A solução geral é
\{(x,y,z)=(-2\lambda+\mu,\;\lambda,\;\mu)\mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\}.

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