Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y=5 \\\\ 4 x+2 y=10 \end{array}\right.
Aplique a eliminação gaussiana e determine o número de soluções:
(a) Nenhuma
(b) Uma solução única
(c) Infinitas soluções
(d) Não é possível concluir.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 2x + y = 5,\\\\ 4x + 2y = 10. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss: vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares e verificar se há inconsistência ou variáveis livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5\\\\ 4 & 2 & 10 \end{array}\right]
e aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, obtendo
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

A segunda linha equivale a 0x+0y=0, sem contradição. Há apenas um pivô (em 2x+y=5), deixando uma variável livre y. Isso gera infinitas soluções parametrizadas, por exemplo
\begin{cases} y = t,\\\ x = \tfrac{5 - t}{2}, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(c) Infinitas soluções

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