Uma empresa produz três produtos A, B, C. O consumo de três recursos X, Y, Z por kg de produto é dado por
M=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right], \quad \vec{b}=\left[\begin{array}{c} 100 \\\\ 80 \\\\ 90 \end{array}\right] .
Modele o sistema M \vec{x}=\vec{b} e discuta a existência de solução única.

Passo 1

O enunciado nos dá o consumo de recursos X,Y,Z por kg dos produtos A,B,C através da matriz
M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e o vetor de disponibilidade desses recursos
\vec b = \begin{pmatrix}100\\\ 80\\\ 90\end{pmatrix}.
Sejam x_1,x_2,x_3 as quantidades (em kg) produzidas de A,B,C. O sistema linear que modela o problema é
M\vec x = \vec b,
onde \vec x = (x_1,x_2,x_3)^\mathsf T.

Passo 2

Para verificar se há solução única, analisamos a invertibilidade de M calculando seu determinante.
\det(M) = 2\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 0 & 2\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 3 & 2\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}1 & 2\\\ 3 & 0\end{vmatrix} =2(2\cdot2-1\cdot0)-1(1\cdot2-1\cdot3)+3(1\cdot0-2\cdot3) =8-(-1)-18 =-9.

Passo 3

Como \det(M)=-9\neq0, a matriz M é invertível. Num sistema M\vec x=\vec b, matriz invertível garante existência e unicidade da solução, dada por
\vec x = M^{-1}\vec b.

Resposta

O sistema M\vec x=\vec b admite solução única, pois \det(M)\neq0.

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