Seja
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & k \end{array}\right]
Para quais valores de k a matriz A é inversível?
(a) Para todo k \in \mathbb{R}
(b) Somente para k \neq 0
(c) Somente para k=0

Passo 1

O enunciado dá uma matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & k \end{pmatrix}
e pede para quais valores de k a matriz é invertível. Para isso, vamos usar o critério de invertibilidade via determinante.

Passo 2

Em qualquer matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto,
\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot k = k.

Passo 3

A condição necessária e suficiente para A ser invertível é \det(A)\neq 0. Como \det(A)=k, concluímos que A é invertível exatamente quando k \neq 0.

Resposta

(b) Somente para k \neq 0

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