Sejam A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 2 & 2 \\\\ -1 & 2 & 0\end{array}\right].
(a) Calcule A^{-1},
(b) Resolva o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=1 \\\\ 2 y+3 z=0 \\\ x+y+z=-1\end{array}\right.
(c) Existe B^{-1} ? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1\\\\ 3 & 2 & 2\\\\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
e pede: (a) A^{-1}\); (b) resolver o sistema \[\begin{cases} x + y + 2z = 1,\\\\ 2y + 3z = 0,\\\ x + y + z = -1; \end{cases}
(c) verificar se B^{-1}\] existe. Para (a) usamos eliminação de Gauss na matriz aumentada \((A\mid I). Para (b) observamos que o sistema tem coeficientes dados por A, então usamos x=A^{-1}b. Para (c) calculamos \det B.

Passo 2

Para encontrar A^{-1}, montamos \bigl(A\mid I_3\bigr) e aplicamos Gauss:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \;\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3 - R_1}\; \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).
Em seguida R_3\leftarrow -R_3, R_2\leftarrow\tfrac12R_2, eliminamos acima e chegamos a
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac32 & \tfrac12 & \tfrac32\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right).
Logo,
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -\tfrac32 & \tfrac12 & \tfrac32\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O sistema pode ser escrito como A\,(x,y,z)^T = b com b=(1,0,-1)^T. Então
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = A^{-1}\,b = \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -\tfrac32 & \tfrac12 & \tfrac32\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Calculando cada componente:
x = \tfrac12\cdot1 + (-\tfrac12)\cdot0 + \tfrac12\cdot(-1) = 0, \quad y = -\tfrac32\cdot1 + \tfrac12\cdot0 + \tfrac32\cdot(-1) = -3, \quad z = 1\cdot1 + 0\cdot0 + (-1)\cdot(-1) = 2.

Passo 4

Para saber se B^{-1} existe, calculamos \det B. Por expansão na primeira linha:
\det B = -2\,(2\cdot0 - 3\cdot2) - 0\,(3\cdot0 - 2\cdot(-1)) +(-1)\,(3\cdot2 - 2\cdot(-1)) = -2\,(0-6) + 0 +(-1)\,(6+2) = 12 - 8 = 0.
Como \det B=0, B é singular e não possui inversa.

Resposta

(a) A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -\tfrac32 & \tfrac12 & \tfrac32\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
(b) (x,y,z) = (0,-3,2).
(c) Não existe B^{-1}, pois \det B = 0.

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