Seja
A=[rrr 1 & 0 & 2 0 & 3 & (lambda+1) 2 & 1 & 4 ]
(a) Encontre o valor do escalar lambda para o qual a matriz A é não invertível (=singular).
(b) Substitua lambda=0 e calcule a inversa, se existir, da matriz A.

Passo 1

O enunciado pede (a) achar o valor de λ para o qual a matriz
A=1&0&20&3&(lambda+1)2&1&4
é singular (não invertível) e (b) para λ=0 calcular a inversa de A, se existir. Vamos usar determinante para (a) e eliminação de Gauss para (b).

Passo 2

Para encontrar quando A é singular, usamos que uma matriz 3×3 é singular se, e somente se, det(A)=0. Aplicando a regra de Sarrus temos:
det(A)=1l(3cdot4-(lambda+1)cdot1r)-0cdotdots+2l(0cdot1-3cdot2r)
Calculando:
det(A)=12-(lambda+1)+2(-6)=12-lambda-1-12=-1-lambda

Passo 3

Igualando a zero:
-1-lambda=0Longrightarrowlambda=-1
Logo, A é singular exatamente para lambda=-1.

Passo 4

Para a parte (b), colocamos lambda=0. Então
A=1&0&20&3&12&1&4
Como 0neq-1, A é invertível. Para achar A^-1, montamos o sistema aumentado [A|I] e aplicamos eliminação de Gauss.

Passo 5

Passo a passo da eliminação:
  1. Subtrai 2·(linha 1) da linha 3.
  2. Divide a linha 2 por 3.
  3. Zera a entrada (3,2) subtraindo a linha 2 da linha 3.
  4. Normaliza a linha 3 multiplicando por −3.
  5. Zera as entradas acima da coluna 3 usando a linha 3.
    Ao final obtemos
A^-1=-11&-2&6-2&0&16&1&-3

Resposta

a) lambda=-1.
b) Para lambda=0,
A^-1=-11&-2&6-2&0&16&1&-3

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